Gegeben ist die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 2\end{array}\right)+\alpha \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

Die Gerade $h$ hat die Gleichung: $h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\beta \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$.

Da der Punkt $B$ auf der Geraden $g$ liegt, hat er die

Koordinaten $B:(1+3\alpha |7+4\alpha |2)$.

Die Gerade $g_{AB}$ durch die Punkte $A$ und $B$ hat die Gleichung:

$g_{AB}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\gamma \cdot \left(\begin{array}{c}-1+3\alpha \\ 7+4\alpha \\ 2\end{array}\right)$.

Da $h$ und $g_{AB}$ senkrecht zueinander sein sollen, muss gelten:

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-1+3\alpha \\ 7+4\alpha \\ 2\end{array}\right)=0\\ ⟺-3+9\alpha +28+16\alpha +0=0⟺25+25\alpha =0\\ ⟺\alpha =-1\end{array}$

Setze $\alpha =-1$ in $B(1+3\alpha |7+4\alpha |2)$ ein: $\Rightarrow B(-2|3|2)$

Wegen der Vorarbeit in Aufgabe a) ist der Abstand der Geraden $g$ und $h$ gerade der Abstand der Punkte $A$ und $B$.

Also:

$\begin{array}{l}d(g,h)=d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=|\left(\begin{array}{c}-2-2\\ 3-0\\ 2-0\end{array}\right)|=\sqrt{4^2+3^2+2^2}\\ \Rightarrow d(g,h)=\sqrt{29}LE\end{array}$