Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Gerade $g:\vec{X}=\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}+\alpha\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $\alpha\in\mathbb{R}$ , sowie eine weitere Gerade $h$ , welche parallel zu $g$ ist und durch den Punkt $A (2 ∣ 0 ∣ 0)$ verläuft. Der Punkt $B$ liegt auf $g$ so, dass die Geraden $A B$ und $h$ senkrecht zueinander sind.
1. Bestimmen Sie die Koordinaten von $B$ . (4P)
  (zur Kontrolle: B(-2|3|2))
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Gegeben ist die Gerade $g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\7\\2\end{pmatrix}+\alpha\cdot \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$
  Die Gerade $h$ hat die Gleichung: $h:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\beta\cdot \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$ .
  Da der Punkt $B$ auf der Geraden $g$ liegt, hat er die
  Koordinaten $B:(1+3\alpha|7+4\alpha|2)$ .
  Die Gerade $g_{AB}$ durch die Punkte $A$ und $B$ hat die Gleichung:
  $g_{AB}:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\gamma\cdot\begin{pmatrix}-1+3\alpha\\7+4\alpha\\2\end{pmatrix}$ .
  Da $h$ und $g_{AB}$ senkrecht zueinander sein sollen, muss gelten:
  $\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-1+3\alpha\\7+4\alpha\\2\end{pmatrix}=0\\\iff -3+9\alpha+28+16\alpha+0=0\iff25+25\alpha=0\\\iff \alpha=-1$
  Setze $\alpha=-1$ in $B(1+3\alpha|7+4\alpha|2)$ ein: $\Rightarrow B(-2|3|2)$
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2. Berechnen Sie den Abstand von $g$ und $h$ . (1P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
  Wegen der Vorarbeit in Aufgabe a) ist der Abstand der Geraden $g$ und $h$ gerade der Abstand der Punkte $A$ und $B$ .
  Also:
  $d(g,h)=d(A,B)=\Big\vert\overrightarrow{AB}\Big\vert=\Big\vert\begin{pmatrix}-2-2\\3-0\\2-0\end{pmatrix}\Big\vert=\sqrt{4^2+3^2+2^2}\\\Rightarrow d(g,h)=\sqrt{29}LE$
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