Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Gerade $g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\7\\2\end{pmatrix}+\alpha\cdot \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$

Die Gerade $h$ hat die Gleichung: $h:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\beta\cdot \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$.

Da der Punkt $B$ auf der Geraden $g$ liegt, hat er die

Koordinaten $B:(1+3\alpha|7+4\alpha|2)$.

Die Gerade $g_{AB}$ durch die Punkte $A$ und $B$ hat die Gleichung:

$g_{AB}:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\gamma\cdot\begin{pmatrix}-1+3\alpha\\7+4\alpha\\2\end{pmatrix}$.

Da $h$ und $g_{AB}$ senkrecht zueinander sein sollen, muss gelten:

$\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-1+3\alpha\\7+4\alpha\\2\end{pmatrix}=0\\\iff -3+9\alpha+28+16\alpha+0=0\iff25+25\alpha=0\\\iff \alpha=-1$

Setze $\alpha=-1$ in $B(1+3\alpha|7+4\alpha|2)$ ein: $\Rightarrow B(-2|3|2)$

Wegen der Vorarbeit in Aufgabe a) ist der Abstand der Geraden $g$ und $h$ gerade der Abstand der Punkte $A$ und $B$.

Also:

$d(g,h)=d(A,B)=\Big\vert\overrightarrow{AB}\Big\vert=\Big\vert\begin{pmatrix}-2-2\\3-0\\2-0\end{pmatrix}\Big\vert=\sqrt{4^2+3^2+2^2}\\\Rightarrow d(g,h)=\sqrt{29}LE$