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Die Punkte A(604)A(6|0|4), B(064)B(0|6|4), C(604)C(-6|0|4) und DD liegen in der Ebene EE und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide ABCDSABCDS mit der Spitze S(001)S(0|0|1). AA, BB und SS liegen in der Ebene FF.

  1. Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck ABSABS gleichschenklig ist. Geben Sie die Koordinaten des Punkts DD an und beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene E E im Koordinatensystem. (4P)

  2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene FF in Koordinatenform. (3P)

    (zur Kontrolle: F;x1+x22x3+2=0F; x_1+x_2-2x_3+2=0)

  3. Berechnen Sie das Volumen VV der Pyramide ABCDSABCDS. (2P)

    (zur Kontrolle V=72V=72.)

  4. Ein auf einer Stange montierter Brunnen besteht aus einer Marmorkugel, die in einer Bronzeschale liegt. Die Marmorkugel berührt die vier Innenwände der Bronzeschale an jeweils genau einer Stelle. Die Bronzeschale wird im Modell durch die Seitenflächen der Pyramide ABCDSABCDS beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt M(004)M(0|0|4) und Radius rr. Die x1x2x_1x_2-Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

    Kugel in einer Schale

    Ermitteln Sie den Durchmesser der Marmorkugel auf Zentimeter genau. (4P)

    (zur Kontrolle: r=6r= \sqrt{6})

  5. Weisen Sie nach, dass der höchste Punkt des Brunnens ca. 6464cm über dem Erdboden liegt. (2P)

  6. Auf der Oberfläche der Marmorkugel treten an vier Stellen Wasserfontänen aus. Eine dieser Austrittsstellen wird im Modell durch den Punkt L0(116)L_0(1|1|6) beschrieben. Die zugehörige Fontäne wird modellhaft durch Punkte Lt(t+1t+16,25(t0,2)2)L_t(t+1|t+1|6{,}2-5\cdot(t-0{,}2)^2) mit geeigneten Werten tR0+t\in \mathbb{R_0^+} beschrieben.

    Der Punkt PP liegt innerhalb des Dreiecks ABS ABS und beschreibt im Modell die Stelle, an der die Fontäne auf die Bronzeschale trifft (vgl. Abbildung). Bestimmen Sie die Koordinaten von PP. (4P)

  7. Untersuchen Sie, ob der höchste Punkt der Wasserfontäne höher liegt als der höchste Punkt des Brunnens. (2P)

  8. Aus den vier Austrittsstellen fließen pro Sekunde insgesamt 8080ml Wasser in die Bronzeschale. Bestimmen Sie die Zeit in Sekunden, die vergeht, bis der anfangs leere Brunnen vollständig mit Wasser gefüllt ist. (4P)

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