Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Punkte $A (6 ∣ 0 ∣ 4)$ , $B (0 ∣ 6 ∣ 4)$ , $C (- 6 ∣ 0 ∣ 4)$ und $D$ liegen in der Ebene $E$ und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide $A B C D S$ mit der Spitze $S (0 ∣ 0 ∣ 1)$ . $A$ , $B$ und $S$ liegen in der Ebene $F$ .
1. Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck $A B S$ gleichschenklig ist. Geben Sie die Koordinaten des Punkts $D$ an und beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene $E$ im Koordinatensystem. (4P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gleichschenkliges Dreieck
  Gegeben sind die Punkte $A\left(6\left|0\right|4\right);\ B\left(0\left|-6\right|4\right)$ und $C\left(-6\left|0\right|4\right)$ , sowie $S\left(0\left|0\right|1\right)$ .
  Das Dreieck $\Delta_{ABS}$ ist gleichschenklig, wenn zwei Seiten gleiche Länge haben.
  $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}\Rightarrow \Big\vert\overrightarrow{AB}\Big\vert=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}$
  $\overrightarrow{AS}=\begin{pmatrix}-6\\0\\-3\end{pmatrix}\Rightarrow \Big\vert\overrightarrow{AS}\Big\vert=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}$
  $\overrightarrow{BS}=\begin{pmatrix}0\\-6\\-3\end{pmatrix}\Rightarrow \Big\vert\overrightarrow{BS}\Big\vert=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}$
  Dreieck $\Delta_{ABS}$ ist gleichschenklig.
  Die Grundfläche der beschriebenen Pyramide ist quadratisch. Bestimme die Koordinaten des Eckpunktes $D$ .
  Der Ortsvektor des Punktes $A$ sei $\vec{a}=\begin{pmatrix}6\\0\\4\end{pmatrix}$
  Der Ortsvektor des Punktes $B$ sei $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\6\\4\end{pmatrix}$
  Der Ortsvektor des Punktes $C$ sei: $\vec{c}=\begin{pmatrix}-6\\0\\4\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-6\\-6\\0\end{pmatrix}$
  Der Punkt $D$ hat dann den Ortsvektor $\vec{d}=\vec{a}+\overrightarrow{BC}$
  $\vec{d}=\begin{pmatrix}6\\0\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-6\\-6\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-6\\4\end{pmatrix}$
  Die Seitenlängen $\Big\vert\overrightarrow{BC}\Big\vert=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=\Big\vert\overrightarrow{AB}\Big\vert$
  Es gilt: $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}\iff \begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-6\\-6\\0\end{pmatrix}=36-36=0$
  Die Ebene $E$ ist durch die Punkte $A, B$ und $C$ bestimmt.
  Die dritte Koordinate dieser Punkte ist $x_{3} = 4$ . Somit ist die Ebene $E$ parallel zur $x_{1} - x_{2}$ -Ebene und hat vom Ursprung $O$ den Abstand $d (E, O) = 4$ .
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2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $F$ in Koordinatenform. (3P)
  (zur Kontrolle: $F; x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} + 2 = 0$ )
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln
  Bestimmung der Gleichung der Ebene $F$ durch die Punkte $A, B$ und $S$
  $F:e_{ABS}=\begin{pmatrix}6\\0\\4\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}-6\\0\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\4\end{pmatrix}+\lambda^* \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+\mu^* \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$
  Das Skalarprodukt aus gesuchtem Normalenvektor mit den Richtungsvektoren muss jeweils gleich null sein.
  Da die dritte Komponente des 1. Richtungsvektors gleich null ist und die beiden ersten Komponenten verschiedene Vorzeichen und betragsmäßig gleich groß sind, kann man die beiden ersten Komponenten des Normalenvektors gleich $1$ setzen.
  Setzt man die dritte Komponente des Normalenvektors gleich $- 2$ , so ergibt das Skalarprodukt des gesuchten Normalenvektors mit dem 2. Richtungsvektor den Wert null.
  Bei solch einfachen Richtungsvektoren kann man sich die Berechnung des Vektorproduktes sparen.
  $\vec{n}_{e_{ABS}}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$
  Also: $e_{ABS}:\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\circ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}6\\0\\4\end{pmatrix}\iff \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\circ \vec{x}+2=0\\\iff e_{ABS}:x_1+x_2-2\cdot x_3+2=0$
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3. Berechnen Sie das Volumen $V$ der Pyramide $A B C D S$ . (2P)
  (zur Kontrolle $V = 72$ .)
  
  Man kann zur Berechnung des Volumens auch das Spatprodukt bemühen.
  Dazu muss man berechnen: $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\circ\overrightarrow{AS}$ .
  Hier muss man Rechenarbeit leisten.
  Aus dem Aufgabenteil a) und b) leitet man aber ab, dass für die Grundfläche $G=\Big\vert\overrightarrow{AB}\Big\vert^2=(\sqrt{72})^2=72$ gilt
  Die Höhe $h$ der Pyramide ist leicht zu ermitteln. Die Grundfläche $G$ liegt in einer Ebene, die parallel zur $x_{2} - x_{3} -$ Ebene ist und vom Ursprung $O$ den Abstand $D (E, O) = 4$ hat.
  Die Spitze $S (0 ∣ 0 ∣ 1)$ hat den Abstand $d (S, O) = 1$
  Somit gilt für die Höhe $h = 3.$
  Für das Volumen einer Pyramide gilt $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h\Rightarrow V=\frac{1}{3}\cdot 72\cdot 3=72$
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4. Ein auf einer Stange montierter Brunnen besteht aus einer Marmorkugel, die in einer Bronzeschale liegt. Die Marmorkugel berührt die vier Innenwände der Bronzeschale an jeweils genau einer Stelle. Die Bronzeschale wird im Modell durch die Seitenflächen der Pyramide $A B C D S$ beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt $M (0 ∣ 0 ∣ 4)$ und Radius $r$ . Die $x_{1} x_{2}$ -Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
  Ermitteln Sie den Durchmesser der Marmorkugel auf Zentimeter genau. (4P)
  (zur Kontrolle: $r= \sqrt{6}$ )
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
  Die Marmorkugel liegt so in der Pyramide, dass sie die Seitenwände berührt. Somit muss der Radius $r$ der Kugel senkrecht zu jeder Seitenwand sein. Der Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Seitenwand ist gleich dem Radius $r$ . Da die Pyramide symmetrisch ist, ist der Abstand des Mittelpunktes $M_{}$ von jeder Seitenwand gleich.
  Zur Abstandsberechnung des Punktes $M$ von der Ebene $F$ verwendet man die Hessesche Normalenform:
  $-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\circ \vec{x}-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\cdot 2=0\\\Rightarrow \Big\vert-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\cdot 2\Big\vert=\Big\vert\dfrac{8}{\sqrt{6}}-\dfrac{2}{\sqrt{6}}\Big\vert=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$
  Der Kugelradius ist somit $r=\sqrt{6}$ .
  Der gesuchte Durchmesser ist dann:
  $d= 2\cdot r=2\cdot \sqrt{6}\;\mathrm{dm}=20\cdot \sqrt{6}\;\mathrm{cm}\approx 49\;\mathrm{cm}$
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5. Weisen Sie nach, dass der höchste Punkt des Brunnens ca. $64$ cm über dem Erdboden liegt. (2P)
  
  Der höchste Punkt $H$ des Brunnens ist der Durchstoßpunkt der Geraden durch die Punkte $S$ und $M$ durch die Kugel. Der Punkt $H$ liegt um $r=\sqrt{{6}}\approx 2{,}4\;\mathrm{dm}$ über dem Punkt $M (0 ∣ 0 ∣ 4)$ . Also liegt $H$ in $4+\sqrt{6}\approx 6{,}4\;\mathrm{dm}\approx 64 \;\mathrm{cm}$ über dem Erdboden.
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6. Auf der Oberfläche der Marmorkugel treten an vier Stellen Wasserfontänen aus. Eine dieser Austrittsstellen wird im Modell durch den Punkt $L_{0} (1 ∣ 1 ∣ 6)$ beschrieben. Die zugehörige Fontäne wird modellhaft durch Punkte $L_t(t+1|t+1|6{,}2-5\cdot(t-0{,}2)^2)$ mit geeigneten Werten $t\in \mathbb{R_0^+}$ beschrieben.
  Der Punkt $P$ liegt innerhalb des Dreiecks $A B S$ und beschreibt im Modell die Stelle, an der die Fontäne auf die Bronzeschale trifft (vgl. Abbildung). Bestimmen Sie die Koordinaten von $P$ . (4P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Gerade Ebene
  Es gilt:
  $L_t(t+1|t+1|6{,}2-5\cdot (t-0{,}2)^2)\iff L_t(1+t|1+t|6{,}2-5\cdot (t^2-2\cdot \frac{2}{10}\cdot t+(\frac{2}{10})^2)\\\iff L_t(1+t|1+t|6{,}2-5\cdot t^2+5\cdot \frac{4}{10}\cdot t-0{,}2)$
  Die Bewegung des Wassers der Fontäne beschreibt man somit mittels der Funktion
  $f:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\6\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+t^2\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\-5\end{pmatrix}$
  Bestimmung des Auftreffpunktes $P$ der Fontäne mit der Ebene $e_{ABS}$
  $\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\left[ \begin{pmatrix}1\\1\\6\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+t^2 \begin{pmatrix}0\\0\\-5\end{pmatrix}\right]+2=0\\\iff-10-2\cdot t+10\cdot t^2+2=0\\\iff 10\cdot t^2-2\cdot t-8=0\\\iff t^2-\frac{2}{10} t-\frac{8}{10}=0\\\iff t^2-\frac{2}{10}t=\frac{8}{10}\\\iff t^2-\frac{2}{10}t+\frac{1}{100}=\frac{80}{100}+\frac{1}{100}\\\iff (t-\frac{1}{10})^2=\frac{81}{100}\iff t_1=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1\lor t_2=-\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=-\frac{8}{10}$
  Da $t\geq 0\Rightarrow t_1=1.$
  Den Wert $t = 1$ setzt man in $f$ ein und erhält:
  $P (2 ∣ 2 ∣ 3) .$
  Liegt der Punkt $P$ innerhalb des Dreiecks $\Delta_{ABS}$ ?
  $\Delta_{ABS}:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\4\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}-6\\0\\-3\end{pmatrix}$ , wobei $0<\lambda,\mu<1\thinspace \land \lambda+\mu<1$
  $\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\4\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}-6\\0\\-3\end{pmatrix}\iff \\ -4=-6\lambda-6\mu\\ 2=6\lambda\Rightarrow \lambda=\frac{1}{3}\\ -1=-3\mu\Rightarrow \mu=\frac{1}{3}$ .
  Diese Werte für $\lambda=\frac{1}{3}$ und $\mu=\frac{1}{3}$ erfüllen die Bedingungen. Somit liegt der Punkt $P$ innerhalb des Dreiecks $\Delta_{ABS}$
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7. Untersuchen Sie, ob der höchste Punkt der Wasserfontäne höher liegt als der höchste Punkt des Brunnens. (2P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Um den höchsten Punkt der Wasserfontäne zu bestimmen, muss man nur die Werte der dritten Komponente von $L_{t}$ untersuchen:
  $x_3(t)=6{,}2-5\cdot(t-\frac{1}{5})^2$
  Man sucht den Maximalwert von $x_3(t):\Rightarrow x_3'(t)=-10\cdot(t-\frac{1}{5})$
  $x_3'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{5}$
  in $x_3(t): x_3(\frac{1}{5})=6{,}2\;\mathrm{dm}=62 \;\mathrm{cm}$
  Somit liegt der höchste Punkt der Wasserfontäne tiefer als der höchste Punkt des Brunnens $(64\;\mathrm{cm})$
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8. Aus den vier Austrittsstellen fließen pro Sekunde insgesamt $80$ ml Wasser in die Bronzeschale. Bestimmen Sie die Zeit in Sekunden, die vergeht, bis der anfangs leere Brunnen vollständig mit Wasser gefüllt ist. (4P)
  s
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelvolumen
  Das Volumen V der Pyramide ist laut Teilaufgabe c gerade $V=72\;\mathrm{dm^3}$
  Die Marmorkugel hat den Mittelpunkt $M (0 ∣ 0 ∣ 4)$ . Weil die Bodenebene der Pyramide vom Ursprung den Abstand $d (E, 0) = 4$ hat, liegt nur eine Halbkugel der Marmorkugel in der Bronzeschale.
  Das Volumen einer Kugel ist $V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3\Rightarrow V_{Halbkugel}=30{,}8\;\mathrm{dm^3}$
  Damit hat die Bronzeschale ein Fassungsvermögen von
  $V_{Schale}=72\;\mathrm{dm^3}-30{,}8\;\mathrm{dm^3}=41{,}2 \;\mathrm{dm^3}$
  $1\;\mathrm{dm^3}=1\;\mathrm{l}=1000\;\mathrm{ml}$
  Wenn pro Sekunde $80\;\mathrm{ml}=0{,}08\;\mathrm{l}$ Wasser in die Schale fließen, so dauert es $515\;\mathrm{s}$ bis die Bronzeschale gefüllt ist.
  Damit ist die Schale nach $8{,}6\;\mathrm{min}$ gefüllt.
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