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Aufgabe B2

Die Diagonalen [AC][AC] und [BD][BD] des Drachenvierecks ABCDABCD schneiden sich im Punkt MM. Das Drachenviereck ABCDABCD ist die Grundfläche der Pyramide ABCDSABCDS mit der Spitze SS und der Höhe [MS][MS].

Es gilt: AC=11\overline{AC}=11cm; AM=4,5\overline{AM}=4{,}5 cm; BD=10\overline{BD}=10 cm; MS=9\overline{MS}=9cm.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll.

    Für die Zeichnung gilt: q=12q=\dfrac{1}{2} und ω=45°\omega=45°.

    Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels MSCMSC. [Ergebnis: MSC=35,84°\sphericalangle MSC=35{,}84°] (3 P)

  2. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [CS].[CS]. Die Winkel PnMSP_nMS haben das Maß φ\varphi mit φ]0°;90°]\varphi\in ]0°;90°]. Die Punkte PnP_n sind zusammen mit den Punkten B B und DD die Eckpunkte von Dreiecken BDPnBDP_n.

    Zeichnen Sie die Strecke [MP1][MP_1] sowie das Dreieck BDP1BDP_1 für φ=30° \varphi=30° in das Schrägbild zu 2a) ein.

    Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken [MPn][MP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: MPn(φ)=5,27sin(φ+35,84°)\overline{MP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}27}{\sin(\varphi+35{,}84°)}cm. (3 P)

  3. Das Dreieck BDP2BDP_2 ist gleichseitig.

    Berechnen Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi. (3 P)

    °
  4. Die Pyramiden BDSPnBDSP_n haben die Grundfläche BDSBDS und die Spitzen PnP_n. Die Höhenfußpunkte FnF_n der Pyramiden BDSPnBDSP_n liegen auf der Strecke [MS][MS].

    Zeichnen Sie die Höhe [F1P1][F_1P_1] in das Schrägbild zu 2a)2a) ein.

    Berechnen Sie sodann das Volumen V V der Pyramiden BDSPnBDSP_n in Abhängigkeit von φ\varphi.

    [Zwischenergebnis:  FnPn(φ)=5,27sinφsin(φ+35,84°)\overline{F_nP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}27\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+35{,}84°)}] cm (3 P)

  5. Die Pyramiden ABDSABDS und BDSP3BDSP_3 haben das gleiche Volumen.

    Berechnen Sie den zugehörigen Wert für φ \varphi. (3 P)