Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Aufgabe A2

In der Zeichnung ist das Drachenviereck $ABCD\$ mit der Symmetrieachse $AC$ dargestellt.

Es gilt: $\overline{AB}=10$ cm; $\sphericalangle BAD=50°$ ; $\sphericalangle CBA=110°$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Punkte $E_n$ liegen auf der Strecke $[AC]$ und legen zusammen mit dem Punkt $B$ Strecken $[BE_n]$ fest. Die Winkel $E_nBA$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]0°;110°]$ . Zeichnen Sie die Strecke $[BE_1]$ für $\varphi=15°$ in die Zeichnung zu 2) ein und zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[BE_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$\overline{BE_n}(\varphi)=\frac{4{,}23}{\sin(\varphi+25°)}\;\text{cm}$ . (3 P)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[BE_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $\overline{BE_n}(\varphi)=\dfrac{4{,}23}{\sin(\varphi+25°)}\;\text{cm}$ .
Verwende den Sinussatz:
$\dfrac{\overline{BE_n}}{\sin\alpha}=\dfrac{\overline{AB}}{\sin\gamma}$
$\alpha=\sphericalangle \;BAC=0{,}5\cdot 50^\circ=25^\circ$
$\gamma=180^\circ-(\varphi+\alpha)$
$\gamma=180^\circ-(\varphi+25^\circ)$
Dann folgt:
$\dfrac{\overline{BE_n}}{\sin25^\circ}=\dfrac{\overline{AB}}{\sin(180^\circ-(\varphi+25^\circ))}$
Mit $\overline{AB}=10\;\text{cm}$ und $\sin(180^\circ-(\varphi+25^\circ))=\sin(\varphi+25^\circ)$ erhält man dann:
$\dfrac{\overline{BE_n}}{\sin25^\circ}=\dfrac{ 10\;\text{cm}}{\sin(\varphi+25^\circ)}\;\Rightarrow\;\overline{BE_n}(\varphi)=\dfrac{ \sin25^\circ\cdot 10\;\text{cm}}{\sin(\varphi+25^\circ)}$
Zeichnen Sie die Strecke $[BE_1]$ für $\varphi=15°$ in die Zeichnung ein:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Das Dreieck $ABE_2$ ist gleichschenklig mit der Basis $[AB]$ . Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABE_2.$ (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt Dreieck
$A=0{,}5\cdot g\cdot h$
Es ist $g= \overline{AB}=10\;\text{cm}$ .
Die Höhe $h$ wird mit Sinus berechnet:
$\sin\sphericalangle\;E_2BA=\dfrac{h}{\overline{BE_2}}$
$\sphericalangle\;E_2BA=\sphericalangle\;BAC=25^\circ$
$\Rightarrow\;h=\overline{BE_2}\cdot \sin25^\circ$
$\overline{BE_2}(25^\circ)=\dfrac{ 4{,}23}{\sin(25^\circ+25^\circ)}=5{,}52\;\text{cm}$
Also ist $h=5{,}52\cdot \sin25^\circ\;\text{cm}$
$\Rightarrow\;A_{ABE_2}=0{,}5\cdot g\cdot h=0{,}5\cdot 10\cdot 5{,}52\cdot \sin25^\circ=11{,}66\;\text{cm}^2$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Der Punkt $E_3$ ist der Mittelpunkt des Inkreises des Drachenvierecks $ABCD$ . Zeichnen Sie den Punkt $E_3$ sowie den Inkreis in die Zeichnung zu 2) ein und berechnen Sie den Radius $r$ des Inkreises. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

Der Punkt $E_3$ ist der Mittelpunkt des Inkreises des Drachenvierecks $ABCD$ .

Der Punkt $E_3$ und der Inkreis werden eingezeichnet.

Berechne $E_3$

Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Der Winkel $\sphericalangle CBA=110°$ . Dann ist der halbe Winkel $\sphericalangle \;CBE_3 =0{,}5\cdot 110^\circ=55^\circ.$

Die Strecke $\overline{BE_3}$ berechnest Du mit:

$\displaystyle \overline{BE_n}(\varphi)$	$=$	$\displaystyle =\dfrac{ 4{,}23}{\sin(\varphi+25^\circ)}\;\text{cm}$
	↓	Setze $\varphi=55^\circ$ ein.
$\displaystyle \overline{BE_3}(55^\circ)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{ 4{,}23}{\sin(55^\circ+25^\circ)}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{ 4{,}23}{\sin(80^\circ)}\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle 4{,}30\;\text{cm}$

Berechne r

In dem oben eingezeichneten rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\sin\sphericalangle \;CBE_3 =\dfrac{r}{\overline{BE_3}}\;\Rightarrow\;r=\overline{BE_3}\cdot \sin\sphericalangle \;CBE_3$

Dabei ist $r$ der Radius des Inkreises.

$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \overline{BE_3}\cdot \sin\sphericalangle \;CBE_3$
	↓	Setze $\overline{BE_3}=4{,}30\;\text{cm}$ und $\sphericalangle \;CBE_3 =55^\circ$ ein.
	$=$	$\displaystyle 4{,}30\cdot \sin55^\circ\;\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle 3{,}52\;\text{cm}$

Den Radius $r$ des Inkreises beträgt $3{,}52\;\text{cm}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Aufgabe A2

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne E3E_3E3​

Berechne r

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne $E_3$