Division von Brüchen

1 Übersicht

Inhalt des Kurses

In diesem Kurs lernst du, wie man Brüche dividiert - mit ganzen Zahlen oder mit anderen Brüchen.

Vorkenntnisse

Du solltest wissen, wie man Brüche multipliziert.

Kursdauer

Dieser Kurs dauert etwa 30-40 Minuten.

2 Einschub: der Kehrbruch

Bei der Division von Brüchen benötigt man oft den sogenannten Kehrbruch. Diesen bestimmt man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht.

Beispiel:

Der Kehrbruch von $\frac{3}{7}$ ist $\frac{7}{3}$ .

Eine Besonderheit des Kehrbruchs ist, dass er bei Multiplikation mit dem ursprünglichen Bruch $1$ ergibt.

Im obigen Beispiel wäre also $\frac{3}{7}\cdot\frac{7}{3}=\frac{3\cdot7}{7\cdot3}=\frac{21}{21}=1$

Für den Kehrbruch gilt:

Je größer eine Zahl, desto kleiner ist ihr Kehrbruch
Je kleiner eine Zahl, desto größer ist ihr Kehrbruch

Bestimme den Kehrbruch.

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Wie bestimmt man aber den Kehrbruch einer natürlichen Zahl?

Betrachte z.B. die Zahl 3. Diese kann man in den Bruch $3=\frac{3}{1}$ umwandeln.

Vertauscht man anschließend Zähler und Nenner, so erhält man $\frac{1}{3}$ als den Kehrbruch.

Merke:

Der Kehrbruch einer natürlichen Zahl n ist der Bruch $\frac{1}{n}$ .

Bestimme den Kehrbruch.

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3 Bruch geteilt durch ganze Zahl

Tim, Tom und Anna teilen sich $\frac{4}{5}$ Liter Orangensaft. Jeder trinkt gleich viel.

Wieviel Saft bekommt Anna?

$\frac{4}{5}$ Liter Orangensaft können durch folgendes Rechteck veranschaulicht werden, dass aus vier orangen und einem weißen Teil besteht.

Wir teilen jedes der 5 kleineren Rechtecke in 3 gleichgroße Teile und sehen, dass offensichtlich gilt

$\frac{4}{5}:3=\frac{4}{15}$

Anna bekommt also $\frac{4}{15}$ Liter Orangensaft.

Vielleicht erinnert dich das an die Bonbon-Aufgabe (Link einfügen).

Durch 3 teilen ( $: 3$ ) bedeutet also, dass man den "dritten Teil" von $\frac{4}{5}$ nimmt - das entspricht einer Multiplikation mit dem Kehrbruch $\frac{1}{3}$ . Wir können also rechnen:

\displaystyle \frac{4}{5}:3=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4\cdot1}{5\cdot3}=\frac{4}{15}

4 Ganze Zahl geteilt durch Bruch

Jan will einen Pizzaabend veranstalten und Gäste einladen. Sein Taschengeld reicht aber nur für 3 Pizzen.

Er überlegt:"Jeder meiner Freunde isst ungefähr $\frac{2}{3}$ der Pizza, um satt zu werden".

Wie viele Freunde kann er also zu seiner Feier einladen?

Du musst also die Zahl suchen, die mit $\frac{2}{3}$ multipliziert $4$ ergibt.

$\displaystyle 1\cdot\frac{2}{3}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}$
$\displaystyle 2\cdot\frac{2}{3}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$
$\displaystyle 3\cdot\frac{2}{3}$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{3}=2$
$\displaystyle 4\cdot\frac{2}{3}$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{3}$
$\displaystyle 5\cdot\frac{2}{3}$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{3}$
$\displaystyle 6\cdot\frac{2}{3}$	$=$	$\displaystyle \frac{12}{3}=4$

Die gesuchte Zahl ist also 6.

Sie löst auch die Gleichung

$4:\frac{2}{3}=\_\_$

Doch wie kommt man am schnellsten auf dieses Ergebnis?

Ganz ähnlich zur vorherigen Teilaufgabe kann man auch hier statt durch $\frac{2}{3}$ zu teilen mit dem Kehrbruch $\frac{3}{2}$ multiplizieren:

	$\displaystyle 4:\frac{2}{3}$
	↓ Multipliziere mit dem Kehrbruch
$=$	$\displaystyle 4\cdot\frac{3}{2}$
	↓ Schreibe auf einen Bruchstrich.
$=$	$\displaystyle \frac{4\cdot3}{2}$
	↓ Multipliziere aus.
$=$	$\displaystyle \frac{12}{2}$
	↓ Kürze mit 2.
$=$	$\displaystyle 6$

5 Bruch geteilt durch Bruch

Die Pizzen kommen pünktlich und wurden vom Lieferanten bereits geachtelt.

Jan hat sich aber bei seiner Pizza-Bestellung verschätzt und es blieben $1\frac{1}{2}$ Pizzen übrig.

Wie viele Stücken entspricht das?

Auch hier kannst du, ähnlich zur vorherigen Aufgabe rechnen:

	$\displaystyle 1\frac{1}{2}:\frac{1}{8}$
$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}:\frac{1}{8}$
	↓ Multiplizieren mit dem Kehrbruch
$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}\cdot\frac{8}{1}$
	↓ Schreibe auf einen Bruchstrich
$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot8}{2\cdot1}$
	↓ Multipliziere aus.
$=$	$\displaystyle \frac{24}{2}$
	↓ Kürze mit 2.
$=$	$\displaystyle 12$

Es sind also insgesamt 12 Stücke. Das lässt sich auch mit der Probe überprüfen:

	$\displaystyle 12\cdot\frac{1}{8}$
	↓ Schreibe auf einen Bruchstrich.
$=$	$\displaystyle \frac{12\cdot1}{8}$
$=$	$\displaystyle \frac{12}{8}$
	↓ Kürze mit 4.
$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$
	↓ Schreibe als unechten Bruch.
$=$	$\displaystyle 1\frac{1}{2}$

Du siehst also: auch bei der Division eines Bruches durch einen anderen Bruch funktioniert die Vorgehensweise.

Merke

Ein Bruch wird durch einen anderen dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrbruch des zweiten Bruches multipliziert:

\displaystyle \frac{\color{#cc0000}a}{\color{#660099}b} : \frac{\color{#006400}c}{\color{#ff6600}d} = \frac{\color{#cc0000}a}{\color{#660099}b} \cdot \frac{\color{#ff6600}d}{\color{#006400}c} = \frac{\color{#cc0000}a ~\cdot~ \color{#ff6600}d}{\color{#660099}b ~\cdot~ \color{#006400}c}

Hierbei stehen $\color{#cc0000}a,\color{#660099}b,\color{#006400}c,\color{#ff6600}d$ für beliebige ganze Zahlen.

Hilfe bietet dir auch folgender Merkspruch:

"Bereitet dir das Dividieren Qual, so spricht der Bruch: Dreh mich um und nimm mich mal."