Definitionsmenge

Die Definitionsmenge einer Funktion gibt an, welche Zahlen man für $xx$ einsetzen kann, damit die Funktion definiert ist.

Hier darf der Nenner nicht $00$ sein. Also setzt man den Nenner gleich $00$ um zu sehen für welche Zahlen die Funktion nicht definiert ist:

$x^2-1=0x^2-1=0$ |$+1+1$

$x^2=1x^2=1$ |$\mathrm{\surd }\backslash surd$

$\Rightarrow x_1=1\backslash Rightarrow\; x\_1=1$

$\Rightarrow x_2=-1\backslash Rightarrow\; x\_2=-1$

$D_g=\mathbb{R}\mathrm{\backslash }\{-1;1\}D\_g=\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash backslash\; \backslash \{-1;1\backslash \}$

Einfacher berechnet man das mit dem Satz vom Nullprodukt:

$\phantom{⟺}{x}^2-1=(x-1)\cdot (x+1)=0\backslash hphantom\{\backslash iff\}x^2-1=(x-1)\backslash cdot(x+1)=0$

$⟺x-1=0\vee x+1=0\backslash iff\; x-1=0\backslash vee\; x+1=0$

$⟺x=1\vee x=-1\backslash iff\; x=1\backslash vee\; x=-1$

Nullstellen

Um die Nullstellen dieser Funktion zu bestimmen, muss man den Zähler gleich $00$ setzen:

$\phantom{iff}2(x+1{)}^2=0\backslash hphantom\{iff\}\; 2(x+1)^2=0$

$⟺2(x^2+2x+1)=0\backslash iff\; 2(x^2+2x+1)=0$

$⟺2\cdot x^2+2\cdot 2x+2\cdot 1=0\backslash iff\; 2\backslash cdot\; x^2+2\backslash cdot2x+2\backslash cdot1=0$

$⟺2x^2+4x+2=0\backslash iff\; 2x^2+4x+2=0$

Lösung mit der Mitternachtsformel

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2\cdot 2}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-4\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{4^2-4\backslash cdot\; 2\backslash cdot\; 2\}\}\{2\; \backslash cdot\; 2\}$

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-b\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\}$

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{4}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-4\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{16-16\}\}\{4\}$

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{4}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-4\; \backslash pm\; \backslash sqrt\; \{0\}\}\{4\}$

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{4}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-4\; \backslash pm\; \backslash sqrt\; \{0\}\}\{4\}$

$x=-1x=-1$

Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt

"Ein Produkt ist $00$, wenn einer der beiden Faktoren $00$ ist."

Also muss in diesem Fall nur $(x+1{)}^2(x+1)^2$ oder einfacher nur $(x+1)(x+1)\backslash$gleich $00$ sein.

$x+1=0x+1=0$ |$-1-1$

$x=-1x=-1$

$x=-1x=-1$ ist eine hebbare Lücke, weil hier der Zähler eine Nullstelle hat, wobei die Ordnung (2, es ist ja eine doppelte Nullstelle) größer oder gleich der Ordnung der Nullstelle des Nenners (1, es ist eine einfache Nullstelle) ist.

Bei $x=1x=1$ gibt es eine senkrechte Asymptote, weil es nur eine Definitionslücke ist.

Das Verhalten an Definitionslücken berechnet man mit dem Limes

von links:

${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2(x+1{)}^2}{x^2-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2(x+1{)}^2}{(x+1)(x-1)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2(x+1)}{x-1}}\backslash displaystyle\; \backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; 1^-\}\{g(x)\}=\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; 1^-\}\backslash frac\{2(x+1)^2\}\{x^2-1\}=\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; 1^-\}\backslash frac\{2(x+1)^2\}\{(x+1)(x-1)\}=\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; 1^-\}\backslash frac\{2(x+1)\}\{x-1\}$

Beim Grenzwert von rechts ändert sich nur das Vorzeichen des Nenners, also ist der Grenzwert $+\mathrm{\infty }\mathrm{.}+\backslash infty.$

Alternativ kann man argumentieren, dass es wegen der einfachen Nullstelle des Nenners eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist.

Senkrechte Asymptote

=> Senkrechte Asymptote bei x =1.

Waagerechte Asymptote

Es gibt eine waagerechte Asymptote bei y=2.

Begründung:

Wenn Zählergrad = Nennergrad dann gilt, dass die Faktoren vor dem höchsten Grad die horizontale Asymptote ergeben.

Faktor vor dem höchsten Grad im Zähler ist 2. Faktor vor dem höchsten Grad im Nenner ist 1 => $\frac{2}{1}=2\backslash frac\{2\}\{1\}=2$.

Die waagerechte Asymptote lautet demnach y = 2.