Geben Sie $D_g$ an, prüfen Sie $g$ auf Nullstellen und folgern Sie daraus die Art der Definitionslücken. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Definitionslücken. (7 BE)

Die Funktion $\displaystyle f: x \mapsto \frac{2(x+1)}{x-1}$ mit $D_f = \mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}$ ist die stetige Fortsetzung der Funktion $g$ (Nachweis nicht erforderlich). Ihr Graph wird mit $G_f$ bezeichnet.

Geben Sie Art und Gleichungen aller Asymptoten von $G_f$ an und untersuchen Sie, ob sich der Graph der Funktion $f$ für $x \to +\infty$ der Asymptote von oben oder unten nähert. (5 BE)

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von f und geben Sie die Wertemenge von f an. (4 BE)

$\left[ \text{mögliches Teilergebnis:} f'(x)=\displaystyle -\frac{4}{(x-1)^2}\right]$

Zeichnen Sie $G_f$ und seine Asymptoten unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse für $-4\leq x\leq6$ in ein kartesisches Koordinatensystem. (4 BE)

Der Graph $G_f$, die $y$-Achse und die Geraden $y = 2$ und $x = a$ mit dem reellen Parameter $a < –1$ begrenzen ein Flächenstück A. Kennzeichnen Sie diese Fläche für $a = –3$ im Koordinatensystem von Teilaufgabe e) und berechnen Sie deren Flächenmaßzahl $A(a)$ in Abhängigkeit von $a$. (5 BE)

[mögliches Ergebnis: $A(a)=4\ln(1-a)$ ]

Untersuchen Sie, ob $A(a)$ für $a\mapsto -\infty$ einen endlichen Wert annimmt. (2 BE)

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion der Funktion $f.$ Geben Sie nur mit den bisherigen Ergebnissen die maximalen Monotonieintervalle des Graphen der Funktion $F$ für $x < 1$ an.