Definitionsmenge

Die Definitionsmenge einer Funktion gibt an, welche Zahlen man für $x$ einsetzen kann, damit die Funktion definiert ist.

Hier darf der Nenner nicht $0$ sein. Also setzt man den Nenner gleich $0$ um zu sehen für welche Zahlen die Funktion nicht definiert ist:

$x^2-1=0$ |$+1$

$x^2=1$ |$\surd$

$\Rightarrow x_1=1$

$\Rightarrow x_2=-1$

$D_g= \mathbb{R} \backslash \{-1;1\}$

Einfacher berechnet man das mit dem Satz vom Nullprodukt:

$\hphantom{\iff}x^2-1=(x-1)\cdot(x+1)=0$

$\iff x-1=0\vee x+1=0$

$\iff x=1\vee x=-1$

Nullstellen

Um die Nullstellen dieser Funktion zu bestimmen, muss man den Zähler gleich $0$ setzen:

$\hphantom{iff} 2(x+1)^2=0$

$\iff 2(x^2+2x+1)=0$

$\iff 2\cdot x^2+2\cdot2x+2\cdot1=0$

$\iff 2x^2+4x+2=0$

Lösung mit der Mitternachtsformel

$x_{1{,}2}=\frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2 \cdot 2}$

$x_{1{,}2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_{1{,}2}=\frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{4}$

$x_{1{,}2}=\frac{-4 \pm \sqrt {0}}{4}$

$x_{1{,}2}=\frac{-4 \pm \sqrt {0}}{4}$

$x=-1$

Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt

"Ein Produkt ist $0$, wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist."

Also muss in diesem Fall nur $(x+1)^2$ oder einfacher nur $(x+1)\$gleich $0$ sein.

$x+1=0$ |$-1$

$x=-1$

$x=-1$ ist eine hebbare Lücke, weil hier der Zähler eine Nullstelle hat, wobei die Ordnung (2, es ist ja eine doppelte Nullstelle) größer oder gleich der Ordnung der Nullstelle des Nenners (1, es ist eine einfache Nullstelle) ist.

Bei $x=1$ gibt es eine senkrechte Asymptote, weil es nur eine Definitionslücke ist.

Das Verhalten an Definitionslücken berechnet man mit dem Limes

von links:

$\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 1^-}{g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow 1^-}\frac{2(x+1)^2}{x^2-1}=\lim\limits_{x \rightarrow 1^-}\frac{2(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}=\lim\limits_{x \rightarrow 1^-}\frac{2(x+1)}{x-1}$

Beim Grenzwert von rechts ändert sich nur das Vorzeichen des Nenners, also ist der Grenzwert $+\infty.$

Alternativ kann man argumentieren, dass es wegen der einfachen Nullstelle des Nenners eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist.

Senkrechte Asymptote

=> Senkrechte Asymptote bei x =1.

Waagerechte Asymptote

Es gibt eine waagerechte Asymptote bei y=2.

Begründung:

Wenn Zählergrad = Nennergrad dann gilt, dass die Faktoren vor dem höchsten Grad die horizontale Asymptote ergeben.

Faktor vor dem höchsten Grad im Zähler ist 2. Faktor vor dem höchsten Grad im Nenner ist 1 => $\frac{2}{1}=2$.

Die waagerechte Asymptote lautet demnach y = 2.