Volumen des gesamten Körpers

Die Skizze zeigt den Axialschnitt $ABCDEF$ eines Körpers mit der Rotationsachse $G$$K$. Der Punkt $G$ ist der Schnittpunkt der Geraden $CD$ und $FE$.

Es gilt: $\overline{AB}=\overline{CF}=5\;\text{cm}$; $\overline{AF}=\overline{BC}=4\;\text{cm}$; $\overline{ED}=2{,}4\;\text{cm}$; $\sphericalangle{GFK}= 50°$;

$[AF]\Vert [GK]\Vert [BC]$.

Das Volumen des Gesamtkörpers (Zylinder) ist: $V=\overline{FK}^2\cdot\pi\cdot\overline{AF}=78{,}54~\text{cm}^3$

Volumen des Kegels

Berechne die Länge der Strecke $\overline{GK}$:

$\dfrac{\overline{GK}}{\overline{FK}}=\tan\sphericalangle{GFK}\Rightarrow\overline{GK}=2{,}5\;\text{cm}\cdot\tan50^\circ$

$\overline{GK}=2{,}5\;\text{cm}\cdot1{,}1918$

$\overline{GK}=2{,}98\ cm$

Damit ist das Volumen des Kegels: $V=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{FK}^2\cdot\pi\cdot\overline{GK}=19{,}50~\text{cm}^3$

Volumen der Kegelspitze

Berechne die Länge der Strecke $\overline{GH}$.

$\dfrac{\overline{GH}}{\overline{GK}}=\dfrac{\overline{ED}}{\overline{FC}}$

$\overline{GH}=\dfrac{2{,}98\;\text{cm}\cdot2{,}40\;\text{cm}}{5\;\text{cm}}$

$\overline{GH}= 1{,}43\;\text{cm}$

Damit ist das Volumen der Kegelspitze: $V=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{EH}^2\cdot\pi\cdot\overline{GH}=2{,}16~\text{cm}^3$

Gesamtvolumen

Berechne das Volumen des Rotationskörpers.

$V=\overline{FK}^2\cdot\pi\cdot\overline{AF}-\dfrac{1}{3}\cdot\overline{FK}^2\cdot\pi\cdot\overline{GK}+\dfrac{1}{3}\cdot\overline{EH}^2\cdot\pi\cdot\overline{GH}$

$V=[(5\cdot0{,}5)^2\cdot\pi\cdot4-\dfrac{1}{3}\cdot(5\cdot0{,}5)^2\cdot\pi\cdot2{,}98+\dfrac{1}{3}\cdot(0{,}5\cdot2{,}4)^2\cdot\pi\cdot1{,}43]\;\text{cm}^3$

$V=61{,}19\;\text{cm}^3$