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Komplexe Zahlen in Polarform

Analog zu den Polarkoordinaten können auch komplexe Zahlen in Polarform dargestellt werden.

Analog zu den Polarkoordinaten können auch komplexe Zahlen in Polarform dargestellt werden.

  • Eine komplexe Zahl z=x+iyz=x+i\cdot y kannst du in Polarform umschreiben zu:

  • Anschaulich ist rr in der Gaußschen Zahlenebene der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung und α\alpha der Winkel, den die Linie mit der xx-Achse einschließt.

In der Gaußschen Zahlenebene haben wir eine komplexe Zahl z=x+iyz=x+i\cdot y durch ihren Realteil xx und ihren Imaginärteil yy in ein Koordinatensystem eingetragen.

Für  ist der Realteil  und der Imaginärteil  . Wir tragen daher in unserem Koordinatensystem den Punkt  ein.

Für z=3+2iz=3+2i ist der Realteil 33 und der Imaginärteil 22. Wir tragen daher in unserem Koordinatensystem den Punkt (3,2)\left(3{,}2\right) ein.

Statt xx und yy können wir eine komplexe Zahl aber auch durch ihren Abstand vom Ursprung und dem Winkel zur xx-Achse charakterisieren.

Durch die  - und  -Koordinate ist ein Punkt eindeutig definiert. Aber auch, indem wir den Abstand  zum Ursprung und den eingeschlossenen Winkel  mit der  -Achse angeben, erhalten wir einen eindeutigen Punkt.

Durch die xx- und yy-Koordinate ist ein Punkt eindeutig definiert. Aber auch, indem wir den Abstand rr zum Ursprung und den eingeschlossenen Winkel α\alpha mit der xx-Achse angeben, erhalten wir einen eindeutigen Punkt.

Der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung ist der Betrag rr. Den Winkel α\alpha, den diese Linie mit der xx-Achse einschließt, nennen wir das Argument der komplexen Zahl. Es wird normalerweise im Bogenmaß angegeben. α\alpha nimmt daher Werte zwischen 00 und 2π2 \pi an.

Bild

Aus der Abbildung können wir jetzt mit Sinus und Cosinus xx und yy berechnen:

cos(α)=xrx=rcos(α)\cos\left(\alpha\right)=\frac{x}{r}\Rightarrow x=r\cdot\cos(\alpha)

sin(α)=yry=rsin(α)\sin(\alpha)=\frac{y}{r}\Rightarrow y=r\cdot\sin(\alpha)

Diese Gleichungen für xx und yy setzen wir jetzt in die kartesische, also die normale Darstellung der komplexen Zahl z=x+iyz=x+iy ein:

z=x+iy=rcos(α)+irsin(α)=r(cos(α)+isin(α))z=x+i\cdot y=r\cdot\cos\left(\alpha\right)+i\cdot r\cdot\sin\left(\alpha\right)=r\left(\cos\left(\alpha\right)+i\cdot\sin\left(\alpha\right)\right)

Wir können eine komplexe Zahl auch schreiben als:

Oft notiert man abkürzend:

Das ist die Darstellung einer komplexen Zahl in den Polarkoordinaten.

Transformationen zu anderen Darstellungsformen

Umrechnung von Polarform in kartesische Form

Wenn rr und α\alpha bekannt sind, kannst du xx und yy so berechnen:

x=rcos(α)x=r\cdot\cos\left(\alpha\right)

y=rsin(α)y=r\cdot\sin\left(\alpha\right)

Dann kannst du xx und yy in z=x+iyz=x+iy einsetzen, um die kartesische Form zu erhalten.

Umrechnung von kartesischer Form in Polarform

Du hast die Darstellung z=x+iyz=x+iy gegeben. xx und yy kannst du daraus ablesen. Wir wollen nun den Betrag rr und das Argument α\alpha berechnen.

Für rr kannst du die Formel für den Betrag einer komplexen Zahl verwenden:

r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}

Aus der Abbildung oben kannst du ablesen, dass tan(α)=yx\tan(\alpha)=\frac{y}{x} gilt. Also ist:

α=tan1(yx)\alpha=\tan^{-1}(\frac{y}{x})

Weil der Tangens periodisch ist, liefert er zwei mögliche Werte für α\alpha:

  • Einmal den Wert, den du mit der obigen Formel berechnen kannst

  • und zum anderen den Wert α=π+tan1(yx)\alpha'=\pi+\tan^{-1}(\frac{y}{x})

Um herauszufinden, welcher α\alpha-Wert der gesuchte ist, kannst du beide Werte in die Formeln x=rcos(α)x=r \cos(\alpha) und y=rsin(α)y=r \sin(\alpha) einsetzen und überprüfen, wo das Richtige herauskommt. Eine Probe ist also in diesem Fall unabdinglich!

Multiplikation und Division komplexer Zahlen in Polarform

MerkeMultiplikation

Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen z1z_1 und z2z_2 werden die Radien multipliziert und die Winkel addiert:

MerkeDivision

Bei der Division zweier komplexer Zahlen z1z_1 und z2z_2 werden die Radien dividiert und die Winkel subtrahiert:

z1z2=(r1r2α1α2)=r1r2(cos(α1α2)+isin(α1α2))\frac{z_1}{z_2}=(\frac{r_1}{r_2}|\alpha_1-\alpha_2)=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\alpha_1-\alpha_2)+i\cdot\sin(\alpha_1-\alpha_2))


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