Neben den üblichen kartesischen Koordinaten ("%%x%%-/%%y%%-Koordinate") kann man jeden Punkt einer Ebene auch mit Polarkoordinaten beschreiben.

Polarkoordinaten

Denn jeder Punkt %%P%% ist durch die Angabe folgender zwei Werte eindeutig festgelegt:

  • Entfernung %%r%% des Punktes vom Koordinatenursprung
  • Winkel %%\varphi%% zwischen der positiven x-Achse und der Strecke %%[OP]%%

Das Paar %%(r|\varphi)%% nennt man Polarkoordinaten.

Beispiel

Der Punkt %%P%% ist %%5%% LE (Längeneinheiten) vom Koordinatenursprung entfernt und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel mit dem Maß %%110°%% ein.

Somit lauten seine Polarkoordinaten %%(5|110°)%%.

Umrechnung

a) Polarkoordinaten %%\rightarrow%% kartesische Koordinaten

Man hat einen Punkt %%P%% in Polarkoordinaten, also %%(r|\varphi)%%, gegeben und möchte seine kartesischen Koordinaten berechnen.

Umrechnung_pol-kart

Wendet man im rechtwinkligen Dreieck %%\triangle OFP%% die Definition des Kosinus bzw. Sinus an, so ergibt sich

%%\cos(\varphi)=\frac{x}{r}\,%% bzw. %%\,\sin(\varphi)=\frac{y}{r}%%.

Multipliziert man beide Gleichungen jeweils mit %%r%%, so ergibt sich: $$x=r\cdot\cos(\varphi)$$ $$y=r\cdot\sin(\varphi)$$

Beispiel

Der Punkt P hat die Polarkoordinaten %%(6|240°)%%. Mit den obigen Formeln können seine kartesischen Koordinaten berechnet werden: $$x=6\cdot cos(240°)=6\cdot (-\frac{1}{2})=-3$$ $$y=6\cdot sin(240°)=6\cdot (-\frac{1}{2}\sqrt{3})=-3\sqrt{3}\approx-5,20$$ Der Punkt P hat somit %%(-3|-5,20)%% als kartesische Koordinaten.

b) Kartesische Koordinaten %%\rightarrow%% Polarkoordinaten

Man hat einen Punkt %%P%% in kartesischen Koordinaten, also %%(x|y)%%, gegeben und möchte seine Polarkoordinaten berechnen.

Umrechnung_kart-pol

Wendet man im rechtwinkligen Dreieck %%\triangle OFP%% den Satz des Pythagoras an und zieht anschließend die Wurzel, so erhält man: $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$ Wendet man im selben Dreieck die Definition des Tangens und anschließend die inverse Funktion an, so erhält man: $$\varphi=tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$$

Die letzte Beziehung ist allerdings nicht allgemeingültig, sondern muss ggf. noch modifiziert werden. Denn je nachdem, in welchem Quadranten der Punkt %%P%% liegt, ergeben sich unterschiedliche Vorzeichen für %%x%% bzw. %%y%%. Daher ist die folgende Fallunterscheidung nötig:

$$x>0, y\geq0:\varphi=tan^{-1}(\frac{y}{x})$$ $$x>0, y<0:\varphi=tan^{-1}(\frac{y}{x})+360°$$

$$x<0:\varphi=tan^{-1}(\frac{y}{x})+180°$$

Da die Gleichung außerdem für %%x=0%% nicht definiert ist (%%x%%-Koordinate im Nenner), muss dieser Fall gesondert betrachtet werden:

$$x=0, y>0:\,\varphi=90°$$

$$x=0, y=0:\,\varphi=0°$$

$$x=0, y<0:\,\varphi=270°$$

Beispiel

Der Punkt P hat die kartesischen Koordinaten %%(-4|3)%%. Mit den obigen Formeln können seine Polarkoordinaten berechnet werden: $$r=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$ Da %%x<0%% ist, muss für die Berechnung von %%\varphi%% die modifizierte Formel benutzt werden: $$\varphi=tan^{-1}(\frac{3}{-4})+180°=tan^{-1}(-0,75)+180°\approx-36,87°+180°=143,13°$$ Der Punkt P hat somit %%(5|143,13°)%% als Polarkoordinaten.

Kommentieren Kommentare

Zu article Polarkoordinaten:
Bernhard-Strauss 2017-12-14 13:29:00+0100
Bei der Umrechnung von kartesischen auf Polarkoordinaten stößt man auf "Wendet man im selben Dreieck die Definition des Tangens und anschließend die inverse Funktion an, so erhält man..."
Als SchülerIn würde mir das etwas zu schnell gehen, klar ist es so übersichtlicher und "schneller", aber hier lohnt sich mindestens noch ein Zwischenschritt zwischen Tangens und Inverse Funktion... :-)
Antwort abschicken