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Polarkoordinaten

Neben den üblichen kartesischen Koordinaten ("x-/y-Koordinate") kann man jeden Punkt einer Ebene auch mit Polarkoordinaten beschreiben.

Denn jeder Punkt P ist durch die Angabe folgender zwei Werte eindeutig festgelegt:

  • Entfernung r des Punktes vom Koordinatenursprung

  • Winkel φ zwischen der positiven x-Achse und der Strecke [OP]

Das Paar (r|φ) nennt man Polarkoordinaten.

Bild
BeispielPolarkoordinaten

Der Punkt P ist 5 LE (Längeneinheiten) vom Koordinatenursprung entfernt und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel mit dem Maß 110° ein.

Somit lauten seine Polarkoordinaten (5|110°).

Umrechnung

a) Polarkoordinaten kartesische Koordinaten

Man hat einen Punkt P in Polarkoordinaten, also (r|φ), gegeben und möchte seine kartesischen Koordinaten berechnen.

Wendet man im rechtwinkligen Dreieck OFP die Definition des Kosinus bzw. Sinus an, so ergibt sich

cos(φ)=xr bzw. sin(φ)=yr.

Multipliziert man beide Gleichungen jeweils mit r, so ergibt sich:

x=rcos(φ)
y=rsin(φ)
Umrechnung_pol-kart

b) Kartesische Koordinaten Polarkoordinaten

Man hat einen Punkt P in kartesischen Koordinaten, also (x|y), gegeben und möchte seine Polarkoordinaten berechnen.

Wendet man im rechtwinkligen Dreieck OFP den Satz des Pythagoras an und zieht anschließend die Wurzel, so erhält man:

r=x2+y2

Wendet man im selben Dreieck die Definition des Tangens und anschließend die inverse Funktion an, so erhält man:

φ=tan1(yx)
Umrechnung_kart-pol

Die letzte Beziehung ist allerdings nicht allgemeingültig, sondern muss ggf. noch modifiziert werden. Denn je nachdem, in welchem Quadranten der Punkt P liegt, ergeben sich unterschiedliche Vorzeichen für x bzw. y. Daher ist die folgende Fallunterscheidung nötig:

x>0,y0:φ=tan1(yx)
x>0,y<0:φ=tan1(yx)+360°

x<0:φ=tan1(yx)+180°

Da die Gleichung außerdem für x=0 nicht definiert ist (x-Koordinate im Nenner), muss dieser Fall gesondert betrachtet werden:

x=0,y>0:φ=90°
x=0,y=0:φ=0°
x=0,y<0:φ=270°

Beispielaufgabe

Der Punkt P hat die kartesischen Koordinaten (4|3). Mit den obigen Formeln können seine Polarkoordinaten berechnet werden:

r=(4)2+32=16+9=25=5

Da x<0 ist, muss für die Berechnung von φ die modifizierte Formel benutzt werden:

φ=tan1(34)+180°=tan1(0,75)+180°36,87°+180°=143,13°

Der Punkt P hat somit (5|143,13°) als Polarkoordinaten.


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