Aufgaben zur Normalen - lernen mit Serlo!

Bestimmung der Normalengleichung

Anhand der Funktionen $f$ und den Stellen $x_0$ soll jeweils der Funktionsterm der Normalen bestimmt werden, die den Graphen in dieser Stelle senkrecht schneidet.

$f\left(x\right)=-2x^3-2x,\ x_0=-2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale

Allgemein	Beispiel
Berechne $f(x_0)$	$f(-2)=-2\cdot (-2)^3-2\cdot (-2)=16+4=20$
Bestimme $f'(x)$	$f'(x)=-6x^2-2$
Berechne $f'(x_0)$	$f'(-2)=-6\cdot (-2)^2-2=-24-2=-26$
Setze in die Normalenformel ein.	$g(x)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)$ $\\$ $\phantom{g(x)}=\dfrac{1}{26}(x+2)+20$
Vereinfache den Funktionsterm.	$g(x)=\dfrac{1}{26}x+\dfrac{522}{26}$

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$f\left(x\right)=-\frac{5}{4}x^2+3,\ x_0=1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale

Allgemein	Beispiel
Berechne $f(x_0)$	$f(1)=-\dfrac{5}{4}\cdot 1^2+3=\dfrac{7}{4}$
Bestimme $f'(x)$	$f'(x)=-\dfrac{5}{2}x$
Berechne $f'(x_0)$	$f'(1)=-\dfrac{5}{2}\cdot 1=-\dfrac{5}{2}$
Setze in die Normalenformel ein.	$g(x)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)$ $\\$ $\phantom{g(x)}=\dfrac{2}{5}(x-1)+\dfrac{7}{4}$
Vereinfache den Funktionsterm.	$g(x)=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{27}{20}$

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$f\left(x\right)=-e^{4x},\ x_0=-1$ .

Runde die Zwischenergebnisse nicht, lasse also Terme wie $e^8$ in der Rechnung bestehen.

Allgemein	Beispiel
Berechne $f(x_0)$	$f(-1)=-e^{-4}=-\dfrac{1}{e^4}$
Bestimme $f'(x)$	$f'(x)=-4e^{4x}$
Berechne $f'(x_0)$	$f'(-1)=-4e^{-4}=-\dfrac{4}{e^4}$
Setze in die Normalenformel ein.	$g(x)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)$ $\\$ $\phantom{g(x)}=\dfrac{e^4}{4}(x+1)-\dfrac{1}{e^4}$
Vereinfache den Funktionsterm.	$g(x)=\dfrac{e^4}{4}x-\dfrac{1}{e^4}+\dfrac{e^4}{4}$