Aufgaben zur Flächenberechnung von Dreiecken im Koordinatensystem

Aufgaben
Berechne die Fläche der Dreiecke ABC.
Kommentieren
A(1/2); B(2/3); C(3/0)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche berechnen

A(1/2); B(2/3); C(3/0)
Zeichne die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten.Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5594_ztR8UR4RLU.xml
CA→=(1−32−0)=(−22)\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\begin{pmatrix}1-3\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}
CB→=(2−33−0)=(−13)\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\begin{pmatrix}2-3\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( α\mathrm\alpha ) oder setze um die Determinante einen Betrag.
Wichtig: 12\frac12 nicht vergessen!
Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.
AΔ=12∣∣CA→CB→∣∣=12∣CB→CA→∣=12∣−1−232∣=12(−2+6)=2  FE\mathrm A_{\Delta}=\frac12\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{CA}}&\overrightarrow{\mathrm{CB}}\end{vmatrix}\right|=\frac12\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{CB}}&\overrightarrow{\mathrm{CA}}\end{vmatrix}=\frac12\begin{vmatrix}-1&-2\\3&2\end{vmatrix}=\frac12(-2+6)=2\;FE

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den R3\mathbb{R}^3 ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag 00 hinzugefügt wird.
Berechne nun das Kreuzprodukt CA→×CB→\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}. Das Ergebnis ist ein zu CA→\overrightarrow{CA} und CB→\overrightarrow{CB} orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von CA→\overrightarrow{CA} und CB→\overrightarrow{CB} aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
AΔ=12∣CA→×CB→∣=12∣(−220)×(−130)∣=12∣(00−4)∣=2  FE\displaystyle A_{\Delta}=\frac12\left|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}0\\0\\-4\end{pmatrix}\right|=2\;FE
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
A(-1/-1); B(5/1); C(2/4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche berechnen

A(-1|-1); B(5|1); C(2|4)
Zeichne die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten.Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5596_6Ov3rDQTfD.xml
AB→=(5−(−1)1−(−1))=(62)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}5-(-1)\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}
AC→=(2−(−1)4−(−1))=(35)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}2-(-1)\\4-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( α\mathrm\alpha ) oder setze um die Determinante einen Betrag.
Wichtig: 12\frac12 nicht vergessen!
Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.
AΔ=12∣∣AC→AB→∣∣=12∣AB→AC→∣=12∣6325∣=12(30−6)=12  FE\mathrm A_{\Delta}=\frac12\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{AC}}&\overrightarrow{\mathrm{AB}}\end{vmatrix}\right|=\frac12\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{AB}}&\overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{vmatrix}=\frac12\begin{vmatrix}6&3\\2&5\end{vmatrix}=\frac12(30-6)=12\;FE

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den R3\mathbb{R}^3 ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag 00 hinzugefügt wird.
Berechne nun das Kreuzprodukt AB→×AC→\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Das Ergebnis ist ein zu AB→\overrightarrow{AB} und AC→\overrightarrow{AC} orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von AB→\overrightarrow{AB} und AC→\overrightarrow{AC} aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
AΔ=12∣AB→×AC→∣=12∣(620)×(350)∣=12∣(0024)∣=12  FE\displaystyle A_{\Delta}=\frac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}6\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}0\\0\\24\end{pmatrix}\right|=12\;FE
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Die Punkte A:(-4|-2), B:(9|-5) und C:(2|2) bilden ein Dreieck. Bestimme den Flächeninhalt FE mit dem Determinantenverfahren. Benutze C als Fußpunkt.

Zuerst wird Spitze minus Fuß gerechnet, was in diesem Fall A-C und B-C ist:

Zuerst A-C
((−4−2(−2)−2)\displaystyle \begin{pmatrix}(-4-2\\(-2)-2\end{pmatrix}

(−6−4)\displaystyle \begin{pmatrix}-6\\-4\end{pmatrix}
Dann B-C
(9−2(−5)−2)\displaystyle \begin{pmatrix}9-2\\(-5)-2\end{pmatrix}

(7−7)\displaystyle \begin{pmatrix}7\\-7\end{pmatrix}

Dann wird das Determinantenverfahren angewendet:

A=0,5∣−67−4−7∣A= 0,5 \begin{vmatrix}-6&7\\-4&-7\end{vmatrix}

A=0,5((−6x(−7))−(7x(−4)))A= 0,5 ((-6x(-7))-(7x(-4)))
A=0,5(42−(−28))A= 0,5 (42-(-28))
A=0,5x70A= 0,5x70
A=35FEA= 35 FE
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Kommentieren Kommentare