Aufgaben
Berechne die Fläche der Dreiecke ABC.
A(1/2); B(2/3); C(3/0)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche berechnen

A(1/2); B(2/3); C(3/0)
Zeichne die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten.Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5594_ztR8UR4RLU.xml
CA=(1320)=(22)\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\begin{pmatrix}1-3\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}
CB=(2330)=(13)\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\begin{pmatrix}2-3\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( α\mathrm\alpha ) oder setze um die Determinante einen Betrag.
Wichtig: 12\frac12 nicht vergessen!
Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.
AΔ=12CACB=12CBCA=121232=12(2+6)=2  FE\mathrm A_{\Delta}=\frac12\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{CA}}&\overrightarrow{\mathrm{CB}}\end{vmatrix}\right|=\frac12\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{CB}}&\overrightarrow{\mathrm{CA}}\end{vmatrix}=\frac12\begin{vmatrix}-1&-2\\3&2\end{vmatrix}=\frac12(-2+6)=2\;FE

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den R3\mathbb{R}^3 ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag 00 hinzugefügt wird.
Berechne nun das Kreuzprodukt CA×CB\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}. Das Ergebnis ist ein zu CA\overrightarrow{CA} und CB\overrightarrow{CB} orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von CA\overrightarrow{CA} und CB\overrightarrow{CB} aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
AΔ=12CA×CB=12(220)×(130)=12(004)=2  FE\displaystyle A_{\Delta}=\frac12\left|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}0\\0\\-4\end{pmatrix}\right|=2\;FE
A(-1/-1); B(5/1); C(2/4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche berechnen

A(-1|-1); B(5|1); C(2|4)
Zeichne die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten.Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5596_6Ov3rDQTfD.xml
AB=(5(1)1(1))=(62)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}5-(-1)\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}
AC=(2(1)4(1))=(35)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}2-(-1)\\4-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( α\mathrm\alpha ) oder setze um die Determinante einen Betrag.
Wichtig: 12\frac12 nicht vergessen!
Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.
AΔ=12ACAB=12ABAC=126325=12(306)=12  FE\mathrm A_{\Delta}=\frac12\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{AC}}&\overrightarrow{\mathrm{AB}}\end{vmatrix}\right|=\frac12\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{AB}}&\overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{vmatrix}=\frac12\begin{vmatrix}6&3\\2&5\end{vmatrix}=\frac12(30-6)=12\;FE

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den R3\mathbb{R}^3 ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag 00 hinzugefügt wird.
Berechne nun das Kreuzprodukt AB×AC\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Das Ergebnis ist ein zu AB\overrightarrow{AB} und AC\overrightarrow{AC} orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von AB\overrightarrow{AB} und AC\overrightarrow{AC} aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
AΔ=12AB×AC=12(620)×(350)=12(0024)=12  FE\displaystyle A_{\Delta}=\frac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}6\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}0\\0\\24\end{pmatrix}\right|=12\;FE
Die Punkte A:(-4|-2), B:(9|-5) und C:(2|2) bilden ein Dreieck. Bestimme den Flächeninhalt FE mit dem Determinantenverfahren. Benutze C als Fußpunkt.

Zuerst wird Spitze minus Fuß gerechnet, was in diesem Fall A-C und B-C ist:

Zuerst A-C
((42(2)2)\displaystyle \begin{pmatrix}(-4-2\\(-2)-2\end{pmatrix}

(64)\displaystyle \begin{pmatrix}-6\\-4\end{pmatrix}
Dann B-C
(92(5)2)\displaystyle \begin{pmatrix}9-2\\(-5)-2\end{pmatrix}

(77)\displaystyle \begin{pmatrix}7\\-7\end{pmatrix}

Dann wird das Determinantenverfahren angewendet:

A=0,56747A= 0,5 \begin{vmatrix}-6&7\\-4&-7\end{vmatrix}

A=0,5((6x(7))(7x(4)))A= 0,5 ((-6x(-7))-(7x(-4)))
A=0,5(42(28))A= 0,5 (42-(-28))
A=0,5x70A= 0,5x70
A=35FEA= 35 FE
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