Aufgaben zur Ableitung von Polynomfunktionen

Hier findest du Aufgaben, mit welchen du die Ableitung von Polynomfunktionen üben kannst.

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Berechne die Ableitung der folgenden Polynomfunktionen.
1. $f (x) = x^{2} - 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  Du nimmst also für jeden Summanden die Hochzahl und setzt diese vor das $x$ . Anschließend verringerst du die Hochzahl um 1.
  $f'\left(x\right)=\left(x^{2\ }-5\right)'=\left(x^2\right)'+\left(-5\right)'=2\cdot x^{2-1}+0=2x$
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  Es gilt: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
  Außerdem gilt $\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)'=u'\left(x\right)+v'\left(x\right)$ und $(c\cdot u(x))'=c\cdot u'(x)$
2. $f\left(x\right)=2x^2+4x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f'\left(x\right)=\left(2x^2+4x\right)'=\left(2x^2\right)'+\left(4x\right)'=4x+4$
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  Es gilt: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
  Außerdem gilt $\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)'=u'\left(x\right)+v'\left(x\right)$ und $(c\cdot u(x))'=c\cdot u'(x)$
3. $f\left(x\right)=2x^5-3x^3+x^2-10$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f'\left(x\right)=\left(2x^5\right)'+\left(-3x^3\right)'+\left(x^2\right)'+\left(-10\right)'=10x^4-9x^2+2x$
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  Es gilt: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
  Außerdem gilt $\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)'=u'\left(x\right)+v'\left(x\right)$ und $(c\cdot u(x))'=c\cdot u'(x)$
4. $f(x)=\frac{1}{2}x^4−4x^3+6x^2−4x+\frac{1}{8}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f'(x)=\left(\frac{1}{2}x^4\right)'+\left(−4x^3\right)'+\left(6x^2\right)'+\left(−4x\right)'+\left(\frac{1}{8}\right)'=2x^3−12x^2+12x^{ }-4$
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  Es gilt: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
  Außerdem gilt $\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)'=u'\left(x\right)+v'\left(x\right)$ und $(c\cdot u(x))'=c\cdot u'(x)$
5. $f(x)=\frac{1}{3}x^3−\frac{2}{5}x^2+6x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f'(x)=(\frac{1}{3}x^3)'−(\frac{2}{5}x^2)'+(6x)'=3\cdot\frac{1}{3}x^2−2\cdot\frac{2}{5}x+6=x^2−\frac{4}{5}x+6$
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  Der Exponent jedes Summanden wird als Faktor vor das Ergebnis geschrieben und der neue Exponent ist der alte Exponent um 1 verringert.
6. $f (a) = 4 a^{4} - 3 a^{2} + 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f^{'} (a) = (4 a^{4} - 3 a^{2} + 2)^{'} = (4 a^{4})^{'} - (3 a^{2})^{'} + (2)^{'} = 16 a^{3} - 6 a$
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  Lass dich nicht davon verunsichern, dass das Funktionsargument in diesem Fall die Variable $a$ ist.
  Es gilt: $(a^n)'=n\cdot a^{n-1}$
  Außerdem gilt $\left(u\left(a\right)+v\left(a\right)\right)'=u'\left(a\right)+v'\left(a\right)$ und $(c\cdot u(a))'=c\cdot u'(a)$
7. $f (x) = a x^{3} - b x + c$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f^{'} (x) = (a x^{3} - b x + c)^{'} = (a x^{3})^{'} - (b x)^{'} + (c)^{'} = 3 a x^{2} - b$
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  Variablen, die nicht das Funktionsargument (in diesem Fall x) sind, kannst du wie Zahlen behandeln.
  Es gilt: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
  Außerdem gilt $\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)'=u'\left(x\right)+v'\left(x\right)$ und $(c\cdot u(x))'=c\cdot u'(x)$
8. $f\left(x\right)=2x^5-10x^3+4x^2+1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f'\left(x\right)=\left(2x^5-10x^3+4x^2+1\right)'=2\cdot5x^{5-1}-10\cdot3x^{3-1}+4\cdot2x^{2-1}=10x^4-30x^2+8x$
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  Es gilt: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
  Außerdem gilt $\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)'=u'\left(x\right)+v'\left(x\right)$ und $(c\cdot u(x))'=c\cdot u'(x)$
9. $f\left(x\right)=\frac{1}{3}x^6-3x^{2}+4x+5^3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f'\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}x^6-3x^{2}+4x+5^3\right)'=6\cdot \frac{1}{3}\cdot x^{6-1}-2\cdot 3 \cdot x^{2-1}+4=2x^{5}-6x+4$
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  Potenzen einfacher Zahlen sind Zahlen.
  Es gilt: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
  Außerdem gilt $\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)'=u'\left(x\right)+v'\left(x\right)$ und $(c\cdot u(x))'=c\cdot u'(x)$
10. $x\left(t\right)=\frac{1}{2}at^{2}+v_0t+x_0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $x'\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}at^{2}+v_0t+x_0\right)'=2\cdot \frac{1}{2}at^{2-1}+v_0=a\cdot t + v_0$
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  Lass dich nicht davon einschüchtern, dass Funktion $x$ und die Variable $t$ ist.
  Es gilt: $(t^n)'=n\cdot t^{n-1}$
  Außerdem gilt $\left(x\left(t\right)+y\left(t\right)\right)'=x'\left(t\right)+y'\left(t\right)$ und $(c\cdot x(t))'=c\cdot x'(t)$
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Ableitungspuzzle
Ziehe mit der Maus die entsprechenden Bilder zu den vorgegebenen Feldern.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Zu der Funktion
$f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} - 3$
gehört der nebenstehende Graph.
Mit den Ableitungsregeln folgt für die
1. Ableitung:
$f^{'} (x) = 8 x^{3} - 8 x$
Der zugehörige Graph ist hier abgebildet.
Für die 2. Ableitung folgt:
$f^{''} (x) = 24 x^{2} - 8$
Der zugehörige Graph ist nebenstehend abgebildet.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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