Aufgaben zur Ableitung von Polynomfunktionen

Hier findest du Aufgaben, mit welchen du die Ableitung von Polynomfunktionen üben kannst.

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Berechne die Ableitung der folgenden Polynomfunktionen.
1. $f (x) = x^{2} - 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  Du nimmst also für jeden Summanden die Hochzahl und setzt diese vor das $x$ . Anschließend verringerst du die Hochzahl um $1$ .
  Merke: Die konstanten Ausdrücke werden nach der Ableitung immer $0$ .
  $f^{'} (x) = {(x^{2} - 5)}^{'} = {(x^{2})}^{'} + {(- 5)}^{'} = 2 \cdot x^{2 - 1} + 0 = 2 x$
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  Es gilt: $(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$
  Außerdem gilt ${(u (x) + v (x))}^{'} = u^{'} (x) + v^{'} (x)$ und $(c \cdot u (x))^{'} = c \cdot u^{'} (x)$
2. $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f^{'} (x) = {(2 x^{2} + 4 x)}^{'} = {(2 x^{2})}^{'} + {(4 x)}^{'} = 4 x + 4$
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  Es gilt: $(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$
  Außerdem gilt ${(u (x) + v (x))}^{'} = u^{'} (x) + v^{'} (x)$ und $(c \cdot u (x))^{'} = c \cdot u^{'} (x)$
3. $f (x) = 2 x^{5} - 3 x^{3} + x^{2} - 10$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f^{'} (x) = {(2 x^{5})}^{'} + {(- 3 x^{3})}^{'} + {(x^{2})}^{'} + {(- 10)}^{'} = 10 x^{4} - 9 x^{2} + 2 x$
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  Es gilt: $(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$
  Außerdem gilt ${(u (x) + v (x))}^{'} = u^{'} (x) + v^{'} (x)$ und $(c \cdot u (x))^{'} = c \cdot u^{'} (x)$
4. $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + \frac{1}{8}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f^{'} (x) = {(\frac{1}{2} x^{4})}^{'} + {(- 4 x^{3})}^{'} + {(6 x^{2})}^{'} + {(- 4 x)}^{'} + {(\frac{1}{8})}^{'} = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x^{} - 4$
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  Es gilt: $(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$
  Außerdem gilt ${(u (x) + v (x))}^{'} = u^{'} (x) + v^{'} (x)$ und $(c \cdot u (x))^{'} = c \cdot u^{'} (x)$
5. $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{5} x^{2} + 6 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f^{'} (x) = (\frac{1}{3} x^{3})^{'} - (\frac{2}{5} x^{2})^{'} + (6 x)^{'} = 3 \cdot \frac{1}{3} x^{2} - 2 \cdot \frac{2}{5} x + 6 = x^{2} - \frac{4}{5} x + 6$
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  Der Exponent jedes Summanden wird als Faktor vor das Ergebnis geschrieben und der neue Exponent ist der alte Exponent um 1 verringert.
6. $f (a) = 4 a^{4} - 3 a^{2} + 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f^{'} (a) = (4 a^{4} - 3 a^{2} + 2)^{'} = (4 a^{4})^{'} - (3 a^{2})^{'} + (2)^{'} = 16 a^{3} - 6 a$
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  Lass dich nicht davon verunsichern, dass das Funktionsargument in diesem Fall die Variable $a$ ist.
  Es gilt: $(a^{n})^{'} = n \cdot a^{n - 1}$
  Außerdem gilt ${(u (a) + v (a))}^{'} = u^{'} (a) + v^{'} (a)$ und $(c \cdot u (a))^{'} = c \cdot u^{'} (a)$
7. $f (x) = a x^{3} - b x + c$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f^{'} (x) = (a x^{3} - b x + c)^{'} = (a x^{3})^{'} - (b x)^{'} + (c)^{'} = 3 a x^{2} - b$
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  Variablen, die nicht das Funktionsargument (in diesem Fall x) sind, kannst du wie Zahlen behandeln.
  Es gilt: $(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$
  Außerdem gilt ${(u (x) + v (x))}^{'} = u^{'} (x) + v^{'} (x)$ und $(c \cdot u (x))^{'} = c \cdot u^{'} (x)$
8. $f (x) = 2 x^{5} - 10 x^{3} + 4 x^{2} + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f^{'} (x) = {(2 x^{5} - 10 x^{3} + 4 x^{2} + 1)}^{'} = 2 \cdot 5 x^{5 - 1} - 10 \cdot 3 x^{3 - 1} + 4 \cdot 2 x^{2 - 1} = 10 x^{4} - 30 x^{2} + 8 x$
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  Es gilt: $(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$
  Außerdem gilt ${(u (x) + v (x))}^{'} = u^{'} (x) + v^{'} (x)$ und $(c \cdot u (x))^{'} = c \cdot u^{'} (x)$
9. $f (x) = \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{2} + 4 x + 5^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f^{'} (x) = {(\frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{2} + 4 x + 5^{3})}^{'} = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot x^{6 - 1} - 2 \cdot 3 \cdot x^{2 - 1} + 4 = 2 x^{5} - 6 x + 4$
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  Potenzen einfacher Zahlen sind Zahlen.
  Es gilt: $(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$
  Außerdem gilt ${(u (x) + v (x))}^{'} = u^{'} (x) + v^{'} (x)$ und $(c \cdot u (x))^{'} = c \cdot u^{'} (x)$
10. $x (t) = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + x_{0}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $x^{'} (t) = {(\frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + x_{0})}^{'} = 2 \cdot \frac{1}{2} a t^{2 - 1} + v_{0} = a \cdot t + v_{0}$
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  Lass dich nicht davon einschüchtern, dass Funktion $x$ und die Variable $t$ ist.
  Es gilt: $(t^{n})^{'} = n \cdot t^{n - 1}$
  Außerdem gilt ${(x (t) + y (t))}^{'} = x^{'} (t) + y^{'} (t)$ und $(c \cdot x (t))^{'} = c \cdot x^{'} (t)$
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Ableitungspuzzle
Ziehe mit der Maus die entsprechenden Bilder zu den vorgegebenen Feldern.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Zu der Funktion
$f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} - 3$
gehört der nebenstehende Graph.
Mit den Ableitungsregeln folgt für die
1. Ableitung:
$f^{'} (x) = 8 x^{3} - 8 x$
Der zugehörige Graph ist hier abgebildet.
Für die 2. Ableitung folgt:
$f^{''} (x) = 24 x^{2} - 8$
Der zugehörige Graph ist nebenstehend abgebildet.

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