Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Aus der Tiefkühltruhe wird ein gefrorenes Lebensmittel mit einer Temperatur von $-11{,}6^\circ \mathrm{C}$ in die Küche zum Auftauen gebracht. Die Temperatur in der Küche beträgt $21 {}^\circ \mathrm{C}$ . Nach $15\; \mathrm{min}$ hat sich das Tiefkühlgut auf $-7{,}8^\circ \mathrm{C}$ erwärmt.

Bestimme die Funktionsgleichung für die beschränkte, exponentielle Zunahme.

Benutze dabei die allgemeine Funktionsgleichung für die beschränkte, exponentielle Zunahme: $B(t)=S+(B_0-S)\cdot e^{-k\cdot t}$

Dabei ist:

$B(t)$ : ist der Bestand zur Zeit $t$ ,
$S$ : ist die Sättigungsgrenze (Schranke)
$k$ : ist die Wachstumskonstante,
$B_0$ : ist der Anfangsbestand zur Zeit , also der Startwert.

Bei dieser Aufgabe entspricht $B(t)$ der Temperatur $T(t)$ in ${}^\circ \mathrm{C}$ des Tiefkühlgutes und $t$ ist die Zeit in Minuten.

Die obere Schranke $S$ ist die Zimmertemperatur von $21^\circ \mathrm{C}$ . Der Anfangswert $B_0$ ist hier die Anfangstemperatur $T_0=-11{,}6{}^\circ \mathrm{C}$ . Somit ergibt sich folgende Gleichung für die beschränkte Temperaturzunahme:

$\displaystyle T(t)=21+(-11{,}6-21)\cdot e^{-k\cdot t}=21-32{,}6\cdot e^{-k\cdot t}$ .

Die Wachstumskonstante $k$ kann über die Angabe $T(15)=-7{,}8{}^\circ \mathrm{C}$ berechnet werden.

$\displaystyle T(t)$	$=$	$\displaystyle 21-32{,}6\cdot e^{-k\cdot t}$
	↓	Setze $T(15)=-7{,}8$ .
$\displaystyle -7{,}8$	$=$	$\displaystyle 21-32{,}6\cdot e^{-k\cdot 15}$	$\displaystyle -21$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$\displaystyle -28{,}8$	$=$	$\displaystyle -32{,}6\cdot e^{-k\cdot 15}$	$\displaystyle :(-32{,}6)$
$\displaystyle \dfrac{-28{,}8}{-32{,}6}$	$=$	$\displaystyle e^{-k\cdot 15}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln\left(\dfrac{28{,}8}{32{,}6}\right)$	$=$	$\displaystyle -k\cdot 15$	$\displaystyle :(-15)$
$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{28{,}8}{32{,}6}\right)}{-15}$	$=$	$\displaystyle k$
$\displaystyle k$	$≈$	$\displaystyle 0{,}00826$

Antwort: Die Gleichung für die Temperaturzunahme lautet:

$\displaystyle T(t)=21-32{,}6\cdot e^{-0{,}00826\cdot t}$ , $T(t)$ in ${}^\circ \mathrm{C}$ und $t$ in Minuten.

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Wie lange dauert es, bis sich das Tiefkühlgut auf $20{}^\circ \mathrm{C}$ erwärmt hat?

Zeichne den Graphen der Funktionsgleichung für $0\le t\le200$ .
Zeichne ebenfalls die Asymptote ein.

Erstelle eine Tabelle mit einigen Funktionswerten:
t (in Minuten)
T(t) in ${}^\circ \mathrm{C}$
0
-11,6
15
-7,8
40
-2,4
80
4,2
120
8,9
160
12,3
200
14,8
Trage die berechneten Funktionswerte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte. Die Asymptote hat hier die Gleichung $y= 21$ (Schranke $S$ ).
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$\displaystyle T(t)$	$=$	$\displaystyle 21-32{,}6\cdot e^{-0{,}00826\cdot t}$
	↓	Setze $T(t)=20$ .
$\displaystyle 20$	$=$	$\displaystyle 21-32{,}6\cdot e^{-0{,}00826\cdot t}$	$\displaystyle -21$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle -32{,}6\cdot e^{-0{,}00826\cdot t}$	$\displaystyle :(-32{,}6)$
$\displaystyle \dfrac{-1}{-32{,}6}$	$=$	$\displaystyle e^{-0{,}00826\cdot t}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln\left(\dfrac{1}{32{,}6}\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}00826\cdot t$	$\displaystyle :(-0{,}00826)$
$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{32{,}6}\right)}{-0{,}00826}$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle t$	$≈$	$\displaystyle 421{,}8$

t (in Minuten)	T(t) in ${}^\circ \mathrm{C}$
0	-11,6
15	-7,8
40	-2,4
80	4,2
120	8,9
160	12,3
200	14,8