Bekannt sind folgende Grössen:

Bevölkerungsstand im Jahr 2010: $6727967279$ Einwohner.

Bevölkerungsstand im Jahr 2019: $8124081240$ Einwohner.

Berechne das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum in Prozent.

$81240=67279\cdot q^9\Rightarrow q=\sqrt[9]{{\displaystyle \frac{81240}{67279}}}\Rightarrow q\approx \mathrm{1,021}\Rightarrow p=\mathrm{2,1}\mathrm{\%}81\; 240\backslash \; =\backslash \; 67\; 279\backslash \; \backslash cdot\backslash \; q^9\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; q\backslash \; =\backslash \; \backslash sqrt[\backslash scriptsize\{9\}]\{\backslash dfrac\{81240\}\{67279\}\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; q\backslash \; \backslash approx\backslash \; 1\{,\}021\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; p\backslash \; =\backslash \; 2\{,\}1\backslash \%$

Das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum beträgt $\mathrm{2,1}\mathrm{\%}2\{,\}1\backslash \%$.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot (1-p{)}^t\backslash hspace\{4cm\}N\backslash left(t\backslash right)=N\_0\backslash cdot(1-p)^t$

$N_t=3245p=\mathrm{1,3}\mathrm{\%}t=2\text{ Jahre}N\_t\backslash \; =\backslash \; 3245\backslash qquad\; p\backslash \; =\backslash \; 1\{,\}3\backslash \%\backslash qquad\; t\backslash \; =\backslash \; 2\backslash \; \backslash text\{Jahre\}\backslash qquad$ setze die Werte in die Formel ein.

$3245=N_0\cdot (1-\mathrm{0,013}{)}^2\backslash hspace\{4cm\}3245=N\_0\backslash cdot(1-0\{,\}013)^2$

$3245=N_0\cdot {\mathrm{0,987}}^2\backslash hspace\{4cm\}3245=N\_0\backslash cdot0\{,\}987^2$

$N_0=3245:{\mathrm{0,987}}^2\backslash hspace\{4cm\}N\_0=\{3245\}:\{0\{,\}987^2\}$

$N_0=\mathrm{3331,044}\backslash hspace\{4cm\}N\_0=3331\{,\}044$

Vor $22$ Jahren waren es $33313331$ Kinder.

Die Formel fur das exponentielle Wachstum lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot (1+p{)}^t\backslash hspace\{4.5cm\}N\backslash left(t\backslash right)=N\_0\backslash cdot(1+p)^t$

$N_t=2\cdot 67279p=\mathrm{3,75}\mathrm{\%}{N}_0=67279N\_t\backslash \; =\backslash \; 2\backslash cdot67279\backslash qquad\; p\backslash \; =\backslash \; 3\{,\}75\backslash \%\backslash qquad\; N\_0\backslash \; =\backslash \; 67279\backslash qquad$setzte die Werte in die Formel ein.

$2\cdot 67279=67279\cdot (1+\mathrm{0,0375}{)}^t\backslash hspace\{4.5cm\}2\backslash cdot67279=67279\backslash cdot(1+0\{,\}0375)^t$

$2=(\mathrm{1,0375}{)}^t\backslash hspace\{4.5cm\}2=(1\{,\}0375)^t$

Berechne $\text{t}\backslash text\{t\}$ mit Hilfe des Logarithmus.

${\log }_{\mathrm{1,0375}}(2)=t\backslash hspace\{4.5cm\}\backslash log\_\{1\{,\}0375\}(2)\backslash \; =\backslash \; t$

$t={\displaystyle \frac{lg2}{lg\mathrm{1,0375}}}\Rightarrow t={\displaystyle \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,016}}}\Rightarrow t=\mathrm{18,8}\backslash hspace\{4.5cm\}t\backslash \; =\backslash \; \backslash dfrac\{lg2\}\{lg1\{,\}0375\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; t\backslash \; =\backslash \; \backslash dfrac\{0\{,\}301\}\{0\{,\}016\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; t\backslash \; =\backslash \; 18\{,\}8$

Die Bevölkerungszahl würde sich nach ungefähr 19 Jahren verdoppelt haben.