Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=1$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl}\text{Aus }A(-2|-3): &I &-3 &= &1\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+c\\\text{Aus }B\ \ \ (2|5): &II &5 &= &1\cdot (2)^2+b\cdot(2)+c\end{array}$

Berechnung der Parameter mit dem Gleichsetzungsverfahren;

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &I &-3 &= &4-2b+c\end{array}\ \ \ \ \ \quad\Rightarrow\quad c=\ \ \ 2b-7$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &II &5 &= &\ 4+2b+c\end{array}\hspace{9mm}\Rightarrow\quad c=-2b+1$

Setze$\ I\ =\ II$

Setze $2$ in $I\$oder $II$ein und berechne $c$.

$c\ =\ 4-7\ =\ -3$

$c\ =\ -3\$

jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.

$p_{\tiny1}:y\ =x^2+2x-3$

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunk ablesen:$\quad \mathrm S_2\left(2{,}5\left|-4\right.\right)$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel.

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x^2-5x+2{,}25\ =\ 0$

$x_{1{,}2}=\dfrac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot 2{,}25}}{2}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{5\pm\sqrt{25-9}}{2}\quad\Rightarrow\quad x_{\tiny 1}\ =\ 4{,}5$

$\hspace{41mm}x_{\tiny2}\ =\ 0{,}5$

Der Scheitel der Parabel $p_{\tiny 3}\$ist laut Angabe: $\ S_{\tiny 3}(3|4)\$

Die Scheitelform lautet:

$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$\ S_{\tiny 3}$ ein.

$p_{\tiny 3}:y\ =\ -(x-3)^2+4$

die Normalform ist dann:

$p_{\tiny 3}:y\ =\ -x^2+6x-5$

Setze den $x$ Wert des Punktes D in die Geradengleichung$\ g:y=x-3$ ein und berechne $y$.

$y=0-3\qquad\Rightarrow\qquad y=-3$

Die Gerade schneidet die $y$-Achse bei $\ (0|-3)$, also liegt $D$ nicht auf $g$.

Für die Spiegelung an der $x$-Achse muss der Funktionsterm mit $(-1)$ multipliziert werden.

$p_4:y=(x-2)^2-3=\quad\Rightarrow\quad p_5:y=-1[\cdot(x-2)^2-3]=-1\cdot(x-2)^2-1\cdot (-3)$

Scheitelpunktform von$\ p_5:\\p_5:y=-(x-2)^2+3$