Aus der Abbildung kannst Du den Scheitel der Parabel $p_{\tiny 1}\$ablesen:$\ S_{\tiny 1}(-2|3)\$

stelle die Scheitelform der Parabel $\ p_{\tiny 1}\$auf, die Scheitelform lautet:

$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$\ S_{\tiny 1}$ ein.

$p_{\tiny 1}:y\ =\ -(x+2)^2+3$

die Normalform ist dann:

$p_{\tiny 1}:y\ =\ -x^2-4x-1$

$f(x)\ =\ x^2+4x+1{,}5$

$f(-1)\ =\ (-1)^2+4\cdot(-1)+1{,}5\ =\ 1-4+1{,}5\ =\ -1{,}5$

$f(-1)\ =\ -1{,}5\neq2\quad\Rightarrow\quad$der Punkt $A$ liegt nicht auf der Parabel $p_2$

$f(-3)\ =\ (-3)^2+4\cdot(-3)+1{,}5\ =\ 9-12+1{,}5\ =\ -1{,}5$

$f(-3)\ =\ -1{,}5\quad\Rightarrow\quad$der Punkt $B$ liegt auf der Parabel $p_2$

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunk ablesen:$\ S_2\ =\ (-2|-2{,}5)$

Berechne den Schnittpunkt $R$ der Normalparabel$\ \ p_2:$ $\ y=x^2+4x+1{,}5$

mit der Geraden $g:$ $y=2x+0{,}5$ , indem du die Funktionsterme gleichsetzt und diese Gleichung anschließend nach $x$ auflöst.

Löse jetzt die Quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad\Rightarrow\ x_{1{,}2}=\dfrac{-(2)\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}$

$\hspace{4.8cm}x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{0}}{2\cdot1}$

$\hspace{4.8cm}x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm{0}}{2\cdot1}\ =\ -1\pm0$

$x_{1{,}2}\ =\ -1$

Setze $x_{1{,}2}$ in z.B. $\ g: y\ =\ 2x+0{,}5$ ein und bestimme $y_{1{,}2}$

Du kannst $\ x_1 =x_2$ auch in $p_2:y=x^2+4x+1{,}5$ einsetzen.

Eingesetzt in $\ g:y=2x+0{,}5$ ergibt:

$y_{1{,}2}\ =\ 2\cdot(-1)+0{,}5\ =\ 0\qquad\Rightarrow\qquad R(-1|-1{,}5)$

e.) Zeichnung der Graphen der Parabel $p_2$ und der Geraden $g$ im Koordinatensystem:

Die Zeichnung ist nicht massgetreu.

$\underline{\text{Empfohlene Vorgehensweise}}$

Stelle die Scheitelform von $\ p_{3}\$auf.

Scheitelform: $\quad p_{3}:y=-\left(x+0{,}5\right)^2+4$

Wandle die Scheitelform in die allgemeine Form um, löse die Klammer auf und fasse zusammen.

$\hspace{24mm} p_{3}:y=-x^2-x+3{,}75$

Spiegel $\ p_{3}\$an der $y$-Achse, ersetze $\ x\$ durch $\ (-x)\$ $\quad\Rightarrow\quad p_{4}$

$\hspace{24mm} p_{4}:y=-(-x)^2-(-x)+3{,}75$

$\hspace{24mm} p_{4}:\boxed{y=-x^2+x+3{,}75}$

Spiegel $\ p_{4}\$an der $x$-Achse, multipliziere die Funktionsgleichung von $\ p_{4}\$mit$\ (-1)\$$\hspace{78mm}\Rightarrow\quad\ p_{5}$

$\hspace{24mm} p_{5}:y=(-1)\cdot(-x^2+x+3{,}75)$

$\hspace{24mm} p_{5}:\boxed{y=x^2-x-3{,}75}$