Aus der Abbildung kannst Du den Scheitel der Parabel $p_1$ablesen:$S_1(-2|3)$

stelle die Scheitelform der Parabel $p_1$auf, die Scheitelform lautet:

$f\left(x\right)=a(x-d{)}^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$S_1$ ein.

$p_1:y=-(x+2{)}^2+3$

die Normalform ist dann:

$p_1:y=-x^2-4x-1$

$f(x)=x^2+4x+\mathrm{1,5}$

$f(-1)=(-1{)}^2+4\cdot (-1)+\mathrm{1,5}=1-4+\mathrm{1,5}=-\mathrm{1,5}$

$f(-1)=-\mathrm{1,5}\ne 2\Rightarrow$der Punkt $A$ liegt nicht auf der Parabel $p_2$

$f(-3)=(-3{)}^2+4\cdot (-3)+\mathrm{1,5}=9-12+\mathrm{1,5}=-\mathrm{1,5}$

$f(-3)=-\mathrm{1,5}\Rightarrow$der Punkt $B$ liegt auf der Parabel $p_2$

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunk ablesen:$S_2=(-2|-\mathrm{2,5})$

Berechne den Schnittpunkt $R$ der Normalparabel$p_2:$ $y=x^2+4x+\mathrm{1,5}$

mit der Geraden $g:$ $y=2x+\mathrm{0,5}$ , indem du die Funktionsterme gleichsetzt und diese Gleichung anschließend nach $x$ auflöst.

Löse jetzt die Quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-(2)\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm 0}{2\cdot 1}}=-1\pm 0$

$x_{\mathrm{1,2}}=-1$

Setze $x_{\mathrm{1,2}}$ in z.B. $g:y=2x+\mathrm{0,5}$ ein und bestimme $y_{\mathrm{1,2}}$

Du kannst $x_1=x_2$ auch in $p_2:y=x^2+4x+\mathrm{1,5}$ einsetzen.

Eingesetzt in $g:y=2x+\mathrm{0,5}$ ergibt:

$y_{\mathrm{1,2}}=2\cdot (-1)+\mathrm{0,5}=0\Rightarrow R(-1|-\mathrm{1,5})$

e.) Zeichnung der Graphen der Parabel $p_2$ und der Geraden $g$ im Koordinatensystem:

Die Zeichnung ist nicht massgetreu.

$\underline{\text{Empfohlene Vorgehensweise}}$

Stelle die Scheitelform von $p_3$auf.

Scheitelform: $p_3:y=-{(x+\mathrm{0,5})}^2+4$

Wandle die Scheitelform in die allgemeine Form um, löse die Klammer auf und fasse zusammen.

$p_3:y=-x^2-x+\mathrm{3,75}$

Spiegel $p_3$an der $y$-Achse, ersetze $x$ durch $(-x)$ $\Rightarrow p_4$

$p_4:y=-(-x{)}^2-(-x)+\mathrm{3,75}$

$p_4:y=-x^2+x+\mathrm{3,75}$

Spiegel $p_4$an der $x$-Achse, multipliziere die Funktionsgleichung von $p_4$mit$(-1)$$\Rightarrow p_5$

$p_5:y=(-1)\cdot (-x^2+x+\mathrm{3,75})$

$p_5:y=x^2-x-\mathrm{3,75}$