Aufgabengruppe I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

(Kleine Änderungen der Formulierung aufgrund der Umwandlung in ein digitales Medium sind kursiv geschrieben.)

Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen einer Normalparabel $p_1$ .

Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_1$ in der Normalform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Aus der Abbildung kannst Du den Scheitel der Parabel $p_{\tiny 1}\$ ablesen: $\ S_{\tiny 1}(-2|3)\$
stelle die Scheitelform der Parabel $\ p_{\tiny 1}\$ auf, die Scheitelform lautet:
$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$
Setze die entsprechenden Werte des Scheitels $\ S_{\tiny 1}$ ein.
$p_{\tiny 1}:y\ =\ -(x+2)^2+3$
die Normalform ist dann:
$p_{\tiny 1}:y\ =\ -x^2-4x-1$
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Überprüfen Sie durch Rechnung, ob die Punkte $A(-1|2)$ und $B(-3|-1{,}5)$ auf der Normalparabel $p_2$ mit der Funktionsgleichung $p_2$ : $y=x^2+4x+1{,}5$ liegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
$f(x)\ =\ x^2+4x+1{,}5$
$f(-1)\ =\ (-1)^2+4\cdot(-1)+1{,}5\ =\ 1-4+1{,}5\ =\ -1{,}5$
$f(-1)\ =\ -1{,}5\neq2\quad\Rightarrow\quad$ der Punkt $A$ liegt nicht auf der Parabel $p_2$
$f(-3)\ =\ (-3)^2+4\cdot(-3)+1{,}5\ =\ 9-12+1{,}5\ =\ -1{,}5$
$f(-3)\ =\ -1{,}5\quad\Rightarrow\quad$ der Punkt $B$ liegt auf der Parabel $p_2$
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Ermitteln Sie rechnerisch den Scheitelpunkt $S_2$ der Parabel $p_2$ .

Die Gerade g mit der Funktionsgleichung $y=2x+0{,}5$ hat mit der Parabel $p_2$ den Punkt $R$ gemeinsam. Berechnen Sie die Koordinaten von $R$ und geben Sie diesen Punkt an.

Zeichnen Sie die Graphen der Parabel $p_2$ und der Geraden $g$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\ cm$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt zweier Funktionen
e.) Zeichnung der Graphen der Parabel $p_2$ und der Geraden $g$ im Koordinatensystem:
Die Zeichnung ist nicht massgetreu.
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Eine nach unten geöffnete Normalparabel $p_3$ hat den Scheitelpunkt $S_3(-0{,}5|4)$ . Durch Spiegelung an der y-Achse entsteht $p_4$ . Durch eine weitere Spiegelung von $p_4$ an der x-Achse entsteht $p_5$ . Geben Sie die Funktionsgleichung der Parabel $p_5$ in der Scheitelpunktform an und stellen Sie Ihren Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
$\underline{\text{Empfohlene Vorgehensweise}}$
Stelle die Scheitelform von $\ p_{3}\$ auf.
Scheitelform: $\quad p_{3}:y=-\left(x+0{,}5\right)^2+4$
Wandle die Scheitelform in die allgemeine Form um, löse die Klammer auf und fasse zusammen.
$\hspace{24mm} p_{3}:y=-x^2-x+3{,}75$
Spiegel $\ p_{3}\$ an der $y$ -Achse, ersetze $\ x\$ durch $\ (-x)\$ $\quad\Rightarrow\quad p_{4}$
$\hspace{24mm} p_{4}:y=-(-x)^2-(-x)+3{,}75$
$\hspace{24mm} p_{4}:\boxed{y=-x^2+x+3{,}75}$
Spiegel $\ p_{4}\$ an der $x$ -Achse, multipliziere die Funktionsgleichung von $\ p_{4}\$ mit $\ (-1)\$ $\hspace{78mm}\Rightarrow\quad\ p_{5}$
$\hspace{24mm} p_{5}:y=(-1)\cdot(-x^2+x+3{,}75)$
$\hspace{24mm} p_{5}:\boxed{y=x^2-x-3{,}75}$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das radioaktive Element Kobalt-60 hat eine Halbwertszeit von fünf Jahren.
1. In einem Behälter befinden sich 3,675 kg Kobalt-60. Berechnen Sie, wie viele Kilogramm nach 13 Jahren von dieser Menge noch vorhanden sind.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstums- und Zerfallsprozesse
  Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:
  $\hspace{40mm}N\left(t\right)=N_0\cdot a^t$
  $N_0\ =\ 3{,}675\ kg$
  $\ \ \ a\ =\ 0{,}5\ \quad \text{da es sich hier um die Halbwertzeit handelt}$
  $\ \ \ \ t\ =\frac{13}{5}\ =\ 2{,}6$ , d.h. $13$ Jahre sind $2{,}6$ Halbwertzeiten.
  Setze die Werte in die Formel ein.
  $\hspace{40mm}N\left(t\right)=3{,}675\ kg\cdot 0{,}5^{2{,}6}$
  $\hspace{40mm}N\left(t\right)\approx 0{,}61\ kg$
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2. Ermitteln Sie rechnerisch, nach wie vielen Jahren von den 3,675 kg Kobalt-60 nur noch 0,1 kg vorhanden sind.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstums- und Zerfallsprozesse
  Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:
  $\hspace{4.5cm}N\left(t\right)=N_0\cdot a^t$
  $N_t\ =\ 0{,}1$
  $\ \ a\ =\ 0{,}5\qquad \text{da\ es\ sich\ hier\ um\ die\ Halbwertszeit\ handelt}$
  $N_0\ =\ 3{,}675\ kg\qquad$
  Setze die Werte in die Formel ein.
  $\hspace{4.5cm}0{,}1\ kg=3{,}675\ kg\cdot 0{,}5^t$
  $\hspace{4.5cm}\dfrac{0{,}1\ kg}{3{,}675\ kg}= 0{,}5^t$
  Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.
  $\hspace{4.5cm}\log_{0{,}5}(0{,}027)\ =\ t$
  $\hspace{4.5cm}t\ =\ \dfrac{\lg0{,}027}{\lg0{,}5}\ \Rightarrow\ t\ =\ \dfrac{-1{,}569}{-0{,}301}\ \Rightarrow\ t\approx\ 5{,}2$
  $t\$ entspricht ungefähr 5,2 Halbwertszeiten, um die Jahre zu erhalten multipliziere 5, 2 mit 5, da die Halbwertszeit 5 Jahre entspricht.
  $5{,}2\cdot 5\ \text{Jahre}\ =\ 26\ \text{Jahre}$
  Nach $26$ Jahren ist von den $3{,}675$ kg Kobalt-60 nur noch $0{,}1$ kg vorhanden.
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3. Berechnen Sie die Ausgangsmenge des radioaktiven Elements Kobalt-60, von der nach 38 Jahren noch 0,742 kg vorhanden sind.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstums- und Zerfallsprozesse
  Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:
  $\hspace{40mm}N\left(t\right)=N_0\cdot a^t$
  $N_t\ =\ 0{,}742\ kg$
  $\ \ \ a\ =\ 0{,}5\ \quad \text{da es sich hier um die Halbwertszeit handelt}$
  $\ \ \ \ t\ =\dfrac{38}{5}\ =\ \text{38\ Jahre\ sind\ 7{,}6\ Halbwertszeiten}$
  Setze die Werte in die Formel ein.
  $\hspace{40mm}0{,}742\ kg=N_{0}\cdot 0{,}5^{7{,}6}$
  $\hspace{44mm}N_{0}\ =\ \dfrac{0{,}742\ kg}{0{,}5^{7{,}6}}$
  $\hspace{44mm}N_{0}\ \approx 144\ kg$
  Die Ausgangsmenge vor $38$ Jahren betrug ungefähr $144$ kg.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In der folgenden Skizze gilt: $\overline{AF}=4\,\text{cm}$ ; $\overline{AD}=5\,\text{cm}$ ; $\overline{DF}:\overline{BC}=1:3$ ; $\overline{DF}||\overline{BC}$ .
Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{}$ $\overline{CE}$ in cm.
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ähnlichkeit
Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{}$ $\overline{CE}$ in cm.
Empfohlene Vorgehensweise:
1.) Berechne die Strecke $\ \overline{DF}\$ wende den Satz des Pythagoras an.
2.) Berechne den Winkel $\ \alpha\$ mit dem Kosinus.
3.) Berechne den Winkel $\ \beta\$ (beachte, $\overline{DF}||\overline{BC})\ \Rightarrow\ \triangle{ADF}\text{\ und}\ \triangle{ABC}\$ sind ähnlich.
4.) Berechne die Strecke $\ \overline{CE}\$ mit dem Sinus.
$\text{zu 1.)}\$ $\ \overline{DF}=\sqrt{\overline{(AD)^2}-\overline{(AF)^2}}\quad\Rightarrow\quad\ \overline{DF}=\sqrt{25-16}\ [cm]\qquad\Rightarrow\quad\underline{\overline{DF}\ =\ 3\ cm}$
$\text{zu 2.)}\$ $\ cos(\alpha)\ =\ \dfrac{\overline{AF}}{\overline{AD}}\quad\Rightarrow\quad cos(\alpha)\ =\ \dfrac{4}{5}\quad\Rightarrow\quad cos(\alpha)\ =\ 0{,}8\quad \Rightarrow\quad \underline{\alpha\approx 37^\circ}$
$\text{zu 3.)}\$ $\beta\ =\ 180^\circ-90^\circ-37^\circ\quad\Rightarrow\quad\underline{\beta\ =\ 53^\circ}$
$\text{zu 4.)}\$ $\ \text{sin}(\beta)\ =\ \dfrac{\overline{CE}}{\overline{BC}}$ ; $\qquad\qquad 3:\overline{BC}\ =\ 1:3\quad\Rightarrow\quad \overline{BC}\ =\ 9\ cm$
$\hspace{15mm} \overline{CE}\ =\ 9\cdot \sin 53^\circ\quad\Rightarrow\quad\underline{\underline{\overline{CE}\ \approx7{,}2\ cm}}$
Die die Länge der Strecke $\overline{}$ $\overline{CE}$ beträgt ungefähr $7{,}2\ cm$ .
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Vereinfachen Sie den unten stehenden Term so weit wie möglich. Es gilt: $x,y>0$
$\dfrac{2\cdot x^5\cdot0{,}5\cdot y^{-3}\cdot4x^3\cdot2\cdot y}{8\cdot y^{-2}\cdot x^7}+\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$\dfrac{2\cdot x^5\cdot0{,}5\cdot y^{-3}\cdot4x^3\cdot2\cdot y}{8\cdot y^{-2}\cdot x^7}+\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$
$\text{\color{green}{ordne\ \text{und schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz}}}$
$\dfrac{0{,}5\cdot2\cdot2\cdot4\cdot(x^5\cdot x^3)\cdot(y\cdot y^{-3})}{8\cdot x^7\cdot y^{-2}}+\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$
$\text{\color{green}{kürze}}$
$\dfrac{\cancel{0{,}5}\cdot\cancel{\ 2}\cdot\cancel{\ 2}\cdot\cancel{\ 4}\cdot(x^5\cdot x^{3})\cdot( y\cdot y^{-3})}{\cancel{\ 8}\cdot x^{7}\cdot y^{-2}}+\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$
$\text{\color{green}{fasse zusammen}}$
$\dfrac{(x^5\cdot x^{3})\cdot( y\cdot y^{-3})}{x^{7}\cdot y^{-2}}+\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$
$\text{\color{green}{vereinfache}}$
${(x^{5+3-7})\cdot( y^{1+(-3)-(-2)})}+x^{({\frac{3}{2}}-\frac{1}{2})}$
$\hspace{2mm}x^1\hspace{6.8mm}\cdot \hspace{1.8mm}y^0\hspace{14.5mm}+x^{\frac{2}{2}}$
$\text{{Vereinfachter Term:}}\ \Rightarrow\ 2x$

Lösen Sie folgende Aufgaben.

Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden $g_1$ , die durch die Punkte $C(6|2)$ und $D(-3|-1)$ verläuft.

Die Gerade $g_3$ verläuft durch den Punkt $B(11|-23)$ und steht senkrecht auf der Geraden $g_2$ : $y=x$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden $g_3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
$g_{2}:y=x\quad\Rightarrow\quad m_{2}\ =\ 1$
da die Gerade $g_{2}\$ senkrecht auf der Geraden $\ g_{3}\$ steht, gilt: $\\m_{2}\cdot\ m_{3}\ =-1\quad\Rightarrow\quad\ m_{3}\ =\dfrac{-1}{m_{2}}\quad\Rightarrow\quad\ m_{3}\ =\ -1$
Stelle die Geradengleichung der Geraden $\ g_{3}\$ auf.
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:
$\hspace{51mm}y\ =\ mx\ +\ t$
Setze $\ m_{3}\$ und die Koordinaten des Punktes $B$ in die Gleichung ein.
$\ -23\ =\ (-1)\cdot 11\ +\ t_3\quad\Rightarrow\quad t_3\ =\ -12$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{3}\$ lautet:
$\ g_{3}:y\ =\ -x\ -\ 12$
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Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung einer Geraden $g_4$ an, die parallel zur Geraden $g_2$ : $y=x$ verläuft und nicht auf $g_2$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Mögliche Funktionsgleichung von $g_4$ :
Hinweis: $\ g_{4}:$ $y\ =\ x+t\ \$ mit $\ \ t\in \mathbb{R}\backslash\lbrace 0\rbrace$
z.B. $\ \hspace{8.5mm}g_{4}:y\ =\ x+3$
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Der Punkt $A(4|-1)$ liegt auf der Geraden $g_5$ : $y=m_5x-4$ . Bestimmen Sie die Steigung $m_5$ rechnerisch.

Die Gerade $g_6$ : $y=x-2{,}5$ und die Gerade $g_7$ mit der Funktionsgleichung

$g_7$ : $2x=3{,}5-y$ schneiden sich im Punkt $S$ . Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ und geben Sie diesen Punkt an.

Zum Beispiel so: "(3|-2,5)"

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_7$ mit der x-Achse und geben Sie diesen Punkt an.

Zum Beispiel so: "(3|-2,5)"

Zeichnen Sie die Geraden $g_5$ und $g_6$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die Skizze ist nicht massgetreu.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Lösen Sie die folgende Gleichung rechnerisch. Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.
$\dfrac{-x}{x+3}+2=1-\dfrac{3x}{4\cdot (x-2)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen
$\dfrac{-x}{x+3}+2=1-\dfrac{3x}{4\cdot (x-2)}$
Definitionsmenge bestimmen.
Im Nenner eines Bruches darf nicht Null stehen. Alle Zahlen, für die sich beim Einsetzen in die Gleichung im Nenner Null ergibt, dürfen nicht in der Definitionsmenge enthalten sein.
Setze jeden der Nenner gleich Null.
$\ \ x+3=0\qquad\Rightarrow\qquad x=-3\\4x-8=0\qquad\Rightarrow\qquad x=\ \ \ 2$
Der Nenner wird Null bei:
$x=-3\:\text{und} \:x=2\qquad\Rightarrow\qquad$ $D=\mathbb R\setminus \left\{-3;2\right\}$
Lösen der Bruchgleichung:
Bestimme den Hauptnenner, der HN ist: $\ 4\cdot(x-2)\cdot(x+3)$
Multipliziere die Bruchgleichung mit dem HN:
$\dfrac{{-x}\cdot4(x-2)\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+3)}}+2\cdot4(x-2)(x+3)=1\cdot4(x-2)(x+3)-\dfrac{3x\cdot\cancel{4(x-2)}(x+3)}{\cancel{4(x-2})}$
${-4x}(x-2)+8(x-2)(x+3)=4(x-2)(x+3)-3x(x+3)$
$\hspace{4mm}-4x^2+8x+8x^2+8x-48=4x^2+4x-24-3x^2-9x$
$\hspace{22.4mm}4x^2+16x-48=x^2-5x-24$
$\hspace{22.4mm}3x^2+21x-24=0\quad|:3$
$\hspace{27.4mm}x^2+7x-8=0\quad$
Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:
$x_{1/2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad\Rightarrow\qquad x_{1/2}=\dfrac{-7\pm\sqrt{49+32}}{2}$
$x_{1/2}=\dfrac{-7\pm9}{2}\qquad\Rightarrow\qquad x_1=\dfrac{-7-9}{2}\qquad \text{und}\qquad x_2=\dfrac{-7+9}{2}$
$x_1=-8\\x_2=\ \ \ 1$
Die Lösungsmenge: $\ \ \mathbb{L}=\left\{-8;1\right\}$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Eine Metallkugel mit einem Durchmesser von 40 mm soll eingeschmolzen und zu sechs gleich großen Kugeln umgeformt werden.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass die sechs kleineren Kugeln zusammen einen größeren Oberflächeninhalt haben als die ursprüngliche Kugel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
Lösungsweg:
a) Berechne das Volumen der grossen Kugel.
b) Berechne das Volumen einer kleinen Kugel.
c) Berechne den Oberflächeninhalt der grossen Kugel.
d) Berechne den Oberflächeninhalt der 6 kleinen Kugeln.
e.) Vergleich die Oberflächeninhalte.
$\ a.)\ V_{\text{K.gr.}}=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3\quad\Rightarrow\quad V_{\text{K.gr.}}=\frac{4}{3}\cdot3{,}14\cdot(20\ mm)^3\quad\Rightarrow\quad V_{\text{K.gr.}}\approx 33493\ mm^3$
$\ b.)\ V_{\text{K.kl.}}=V_{K.gr.}:6\quad\Rightarrow\quad V_{\text{K.kl.}}=33493\ mm^3:6\hspace{10mm}\Rightarrow\quad V_{\text{K.kl.}}\ \approx\ 5582\ mm^3$
$\ c.)\ O_\text{K.gr}=4\cdot\pi\cdot r^2\quad\ \ \Rightarrow\quad O_\text{K.gr}=4\cdot3{,}14\cdot (20\ mm)^2\ \quad\Rightarrow\quad O_\text{K.gr}=5024\ mm^2$
zu d.) Berechne zuerst den Radius der kleinen Kugel.
$\ V_{\text{K.kl.}}=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3\quad\Rightarrow\quad r\ =\sqrt[3]{\frac{3\cdot V_{\text{K.kl.}}}{4\cdot\pi}}\quad\Rightarrow\quad r\ =\sqrt[3]{1333\ mm^3}\quad\Rightarrow\quad\ r\approx11\ mm$
$\ d.)\ O_\text{K.kl}=4\cdot\pi\cdot r^2\quad\ \ \Rightarrow\quad O_\text{K.kl}=4\cdot3{,}14\cdot (11\ mm)^2\ \quad\Rightarrow\quad O_\text{K.kl}\approx1520\ mm^2$
$\ e.)\quad O_{\text{K.gr.}}=5024\ mm^2;\qquad O_{\text{(6 K.kl.)}}\approx1520\ mm^2\cdot 6\qquad\Rightarrow\quad O_{\text{(6 K.kl.)}}\approx9120\ mm^2$
$\hspace{50mm}5024\ mm ^2<9120\ mm^2$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Es gilt $g_1‖g_2‖g_3$ .
1. Von den folgenden vier Aussagen geben zwei die Streckenverhältnisse richtig wieder.
  $\overline{ZA}:\overline{ZC}=\overline{ZD}:\overline{ZF}$
  $\overline{BZ}:\overline{AZ}=\overline{FZ}:\overline{EZ}$
  $\overline{FC}:\overline{ZC}=\overline{EB}:\overline{AB}$
  $\overline{ZD}:\overline{DA}=\overline{ZE}:\overline{EB}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz (Vierstreckensatz)
  $\underline{\text{1.\ Strahlensatz}}$ $\quad\Rightarrow\quad\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZC}}=\dfrac{\overline{ZD}}{\overline{ZF}}$
  $\rule{12cm}{0.5mm}$
  $\underline{\text{2.\ Strahlensatz}}$ $\quad\Rightarrow\quad\dfrac{\overline{ZD}}{\overline{DA}}=\dfrac{\overline{ZE}}{\overline{EB}}$
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2. Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{FC}$ , wenn folgende Streckenlängen gegeben sind: $\overline{ZC}=21cm$ ; $\overline{BC}=7cm$ ; $\overline{EB}=8cm$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
  Berechne die Länge der Strecke $\overline{FC}$ .
  Es gilt: $\quad\dfrac{\overline{ZC}}{\overline{FC}}\ =\ \dfrac{{\overline{ZC}-\overline{BC}}}{\overline{EB}}\quad\Rightarrow\quad \overline{FC}\ =\ \dfrac{\overline{ZC}\cdot\overline{EB}}{\overline{ZC}-\overline{BC}}\quad\Rightarrow\quad\overline{FC}\ =\ \dfrac{168\ cm^2}{14\ cm}$
  $\ \hspace{13mm}\underline{\underline{\overline{FC}\ =\ 12\ cm}}$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Folgende Aufgaben sind Anwendungen von binomischen Formeln und quadratischen Gleichungen.
1. Ersetzen Sie die Symbole $\square$ , $\triangle$ und $\bigcirc$ jeweils durch den entsprechenden Term und schreiben Sie die mathematisch richtige Gleichung auf Ihr Lösungsblatt.
  (1) $(2-\square)^2=\triangle-\bigcirc+4b^{16}$
  (2) $\vert(\dfrac{1}{5}c^3+\square)\vert\cdot \vert(\dfrac{1}{5}c^3-\square)$ $\vert$ = $\bigcirc-\dfrac{4}{81}d^4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  (1) $\ (2-\square)^2=\triangle-\bigcirc+4b^{16}$
  Wende die 2. Binomische Formel an:
  $\hspace{14mm}(a-b)^2\hspace{4mm} =\hspace{2mm}a^2-2ab+b^2$
  $\hspace{12mm}\left(2-\boxed{2b^8}\right)^2=\boxed{\ 4\ }-\boxed{8b^8}\ +4b^{16}$
  (2) $\ \left(\dfrac{1}{5}c^3+\square\right)\cdot \left(\dfrac{1}{5}c^3-\square\right)$ $\ =\ \bigcirc-\dfrac{4}{81}d^4$
  Wende die 3. Binomische Formel an:
  $\hspace{8mm}(a+b)\hspace{4mm}\hspace{1mm}\cdot\hspace{5mm}(a-b)\hspace{8mm}=\hspace{7mm} a^2-b^2$
  $\ \left(\dfrac{1}{5}c^3+\boxed{\dfrac{2}{9}d^2}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{5}c^3-\boxed{\dfrac{2}{9}d^2}\right)\ =\ \boxed{\dfrac{1}{25}c^6}-\dfrac{4}{81}d^4$
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2. Ersetzen Sie die Platzhalter der folgenden Gleichung so, dass eine quadratische Gleichung mit der Lösungsmenge L = {-4; 3} entsteht und schreiben Sie diese auf Ihr Lösungsblatt.
  $(x+\square)\cdot (x-\triangle)=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktorzerlegung durchführen
  $(x+\square)\cdot (x-\triangle)=0$
  Die quadratische Gleichung hat zwei Nullstellen nämlich: $\ x_{1}\ =\ -4;\quad x_{2}=3$
  Linearfaktorenzerlegung:
  $\hspace{40mm}(x-x_{1})\cdot(x-x_{2})\qquad$ setze $\ x_{1}\$ und $\ x_{2}\$ ein.
  $\hspace{42mm}(x+4)\cdot(x-3)\ =0$
  Ausmultipliziert ergibt das:
  $\hspace{49mm}x^2+x-12\ =\ 0$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einem Behälter befinden sich genau vier Kugeln. Sie sind mit den Ziffern 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert.
1. Mit den vier Kugeln kann man unterschiedliche Zahlen legen. Ermitteln Sie rechnerisch die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten für eine vierstellige Zahl.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
  Berechne mithilfe der Fakultät $n!$ die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten für eine vierstellige Zahl.
  Anzahl aller möglichen Kombinationen für eine vierstellige Zahl.
  $\$ $\ n!\ \text{setze\ für}\ n=4\quad\Rightarrow\quad4!=4\cdot3\cdot2\cdot1\ =\ \boxed{24}$
  Es gibt $\boxed{24}\$ mögliche Kombinationen für eine vierstellige Zahl.
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2. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen und nicht mehr zurückgelegt. Aus beiden gezogenen Ziffern wird ein Bruch gebildet. Die zuerst gezogene Ziffer bildet den Zähler, die zweite den Nenner des Bruches. Geben Sie die Ergebnismenge mit allen bei diesem Vorgang möglichen Brüchen an und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der gebildete Bruch den Wert 0,5 hat.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  Die Ergebnismenge ist:
  $\Omega=\left\{\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4};\dfrac{2}{1};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{4};\dfrac{3}{1};\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{4};\dfrac{4}{1};\dfrac{4}{2};\dfrac{4}{3}\right\}$ , das läßt sich gut am Baumdiagramm ablesen.
  $\underline{\text{Wahrscheinlichkeit für den Wert des Bruches 0{,}5:}}$
  Es gibt zwei Brüche mit dem Wert $0{,}5$ , nämlich: $\ \dfrac{1}{2}\$ und $\ \dfrac{2}{4}$
  Berechnung der Wahrscheinlichkeit:
  $\ \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}\approx0{,}167\approx16{,}7\%$
  oder,
  mit den $4$ Zahlen kann man $12$ Brüche bilden, $2$ der $12$ Brüche haben den Wert $0{,}5$ also
  ist die Wahrscheinlichkeit dass der gebildete Bruch den Wert 0,5 hat:
  $\qquad\boxed{\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}}$
  $\underline{\text{Anmerkung}}:$
  Das Baumdiagramm muss nicht gezeichnet werden, das ist nicht Teil der Aufgabenstellung, es ist lediglich eine Hilfestellung.
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3. Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus einem Baumdiagramm zu einem weiteren Zufallsexperiment. Begründen Sie, dass das Experiment mit Zurücklegen der Kugeln durchgeführt wurde.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
  Der Versuch ist mit Zurücklegen, da z.B., wie man am Baumdiagramm sehen kann,
  • die Kugel mit der Nummer 1 in einem Pfad zweimal vorkommt.
  • von jeder Ziffer vier Pfade abgehen.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+1{,}5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2+4x+\color{red}\left(\frac{4}{2}\right)^2\color{black}-\left(\frac{4}{2}\right)^2+1{,}5$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben
	$=$	$\displaystyle \left(x+\color{red}2\color{black}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+1{,}5$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-2{,}5$

$\displaystyle x^2+4x+1{,}5$	$=$	$\displaystyle 2x+0{,}5$	$\displaystyle -2x$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle x^2+2x+1{,}5$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$	$\displaystyle -0{,}5$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle x^2+2x+1$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle (D)\ in\ (C):\ 6m\ +(3m-1)$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 9m-1$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 9m$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :9$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{9}$

$\displaystyle 4\cdot m_{5}-4$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 4\cdot m_{5}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle m_{5}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}$

$\displaystyle x-2{,}5$	$=$	$\displaystyle -2x+3{,}5$	$\displaystyle +2x$
$\displaystyle 3x-2{,}5$	$=$	$\displaystyle 3{,}5$	$\displaystyle +2{,}5$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle -2x+3{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3{,}5$
$\displaystyle -2x$	$=$	$\displaystyle -3{,}5$	$\displaystyle :-2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1{,}75$

Aufgabengruppe I

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