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Aufgabengruppe I

ūüéď Pr√ľfungsbereich f√ľr Bayern

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF. 

(Kleine √Ąnderungen der Formulierung aufgrund der Umwandlung in ein digitales Medium sind kursiv geschrieben.)

  1. 1

    Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen einer Normalparabel p1p_1.

    Parabel
    1. Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von p1p_1 in der Normalform.

    2. √úberpr√ľfen Sie durch Rechnung, ob die Punkte A(‚ąí1‚ą£2)A(-1|2) und B(‚ąí3‚ą£‚ąí1,5)B(-3|-1{,}5) auf der Normalparabel p2p_2 mit der Funktionsgleichung p2p_2: y=x2+4x+1,5y=x^2+4x+1{,}5 liegen.

    3. Ermitteln Sie rechnerisch den Scheitelpunkt S2S_2 der Parabel p2p_2.

    4. Die Gerade g mit der Funktionsgleichung y=2x+0,5y=2x+0{,}5 hat mit der Parabel p2p2 den Punkt RR gemeinsam. Berechnen Sie die Koordinaten von RR und geben Sie diesen Punkt an.

    5. Zeichnen Sie die Graphen der Parabel p2p_2 und der Geraden gg in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1cm1 cm.

    6. Eine nach unten ge√∂ffnete Normalparabel p3p_3 hat den Scheitelpunkt S3(‚ąí0,5‚ą£4)S_3(-0{,}5|4). Durch Spiegelung an der y-Achse entsteht p4p_4. Durch eine weitere Spiegelung von p4p_4 an der x-Achse entsteht p5p_5. Geben Sie die Funktionsgleichung der Parabel p5p_5 in der Scheitelpunktform an und stellen Sie Ihren L√∂sungsweg nachvollziehbar dar.

  2. 2

    Das radioaktive Element Kobalt-60 hat eine Halbwertszeit von f√ľnf Jahren.

    1. In einem Behälter befinden sich 3,675 kg Kobalt-60. Berechnen Sie, wie viele Kilogramm nach 13 Jahren von dieser Menge noch vorhanden sind.

    2. Ermitteln Sie rechnerisch, nach wie vielen Jahren von den 3,675 kg Kobalt-60 nur noch 0,1 kg vorhanden sind.

    3. Berechnen Sie die Ausgangsmenge des radioaktiven Elements Kobalt-60, von der nach 38 Jahren noch 0,742 kg vorhanden sind.

  3. 3

    In der folgenden Skizze gilt: AF‚Äĺ=4‚ÄČcm\overline{AF}=4\,\text{cm}; AD‚Äĺ=5‚ÄČcm\overline{AD}=5\,\text{cm}; DF‚Äĺ:BC‚Äĺ=1:3\overline{DF}:\overline{BC}=1:3; DF‚Äĺ‚ą£‚ą£BC‚Äĺ\overline{DF}||\overline{BC} .

    Berechnen Sie die L√§nge der Strecke ‚Äĺ\overline{}CE‚Äĺ\overline{CE} in cm.

    Dreieck
    cm
  4. 4

    Vereinfachen Sie den unten stehenden Term so weit wie möglich. Es gilt: x,y>0x,y>0

    2‚čÖx5‚čÖ0,5‚čÖy‚ąí3‚čÖ4x3‚čÖ2‚čÖy8‚čÖy‚ąí2‚čÖx7+x32x\dfrac{2\cdot x^5\cdot0{,}5\cdot y^{-3}\cdot4x^3\cdot2\cdot y}{8\cdot y^{-2}\cdot x^7}+\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}


  5. 5

    Lösen Sie folgende Aufgaben.

    1. Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden g1g_1, die durch die Punkte C(6‚ą£2)C(6|2) und D(‚ąí3‚ą£‚ąí1)D(-3|-1) verl√§uft.

    2. Die Gerade g3g_3 verl√§uft durch den Punkt B(11‚ą£‚ąí23)B(11|-23)und steht senkrecht auf der Geraden g2g_2: y=xy=x. Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden g3g_3.

    3. Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung einer Geraden g4g_4 an, die parallel zur Geraden g2g_2: y=xy=x verläuft und nicht auf g2g_2 liegt.

    4. Der Punkt A(4‚ą£‚ąí1)A(4|-1) liegt auf der Geraden g5g_5: y=m5x‚ąí4y=m_5x-4. Bestimmen Sie die Steigung m5m_5 rechnerisch.


    5. Die Gerade g6g_6: y=x‚ąí2,5y=x-2{,}5 und die Gerade g7g_7 mit der Funktionsgleichung

      g7g_7: 2x=3,5‚ąíy2x=3{,}5-y schneiden sich im Punkt SS. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts SS und geben Sie diesen Punkt an.

      Zum Beispiel so: "(3|-2,5)"


    6. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts NN der Geraden g7g_7 mit der x-Achse und geben Sie diesen Punkt an.

      Zum Beispiel so: "(3|-2,5)"


    7. Zeichnen Sie die Geraden g5g_5 und g6g_6 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1cm.

  6. 6

    Lösen Sie die folgende Gleichung rechnerisch. Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.

    ‚ąíxx+3+2=1‚ąí3x4‚čÖ(x‚ąí2)\dfrac{-x}{x+3}+2=1-\dfrac{3x}{4\cdot (x-2)}

  7. 7

    Eine Metallkugel mit einem Durchmesser von 40 mm soll eingeschmolzen und zu sechs gleich großen Kugeln umgeformt werden.

    Zeigen Sie durch Rechnung, dass die sechs kleineren Kugeln zusammen einen gr√∂√üeren Oberfl√§cheninhalt haben als die urspr√ľngliche Kugel.

  8. 8

    Es gilt g1‚ÄĖg2‚ÄĖg3g_1‚ÄĖg_2‚ÄĖg_3.

    Skizze
    1. Von den folgenden vier Aussagen geben zwei die Streckenverhältnisse richtig wieder.

    2. Berechnen Sie die L√§nge der Strecke FC‚Äĺ\overline{FC}, wenn folgende Streckenl√§ngen gegeben sind: ZC‚Äĺ=21cm\overline{ZC}=21cm; BC‚Äĺ=7cm\overline{BC}=7cm; EB‚Äĺ=8cm\overline{EB}=8cm.

  9. 9

    Folgende Aufgaben sind Anwendungen von binomischen Formeln und quadratischen Gleichungen.

    1. Ersetzen Sie die Symbole ‚Ė°\square, ‚Ė≥\triangle und ‚óĮ\bigcirc jeweils durch den entsprechenden Term und schreiben Sie die mathematisch richtige Gleichung auf Ihr L√∂sungsblatt.

      (1) (2‚ąí‚Ė°)2=‚Ė≥‚ąí‚óĮ+4b16(2-\square)^2=\triangle-\bigcirc+4b^{16}

      (2) ‚ą£(15c3+‚Ė°)‚ą£‚čÖ‚ą£(15c3‚ąí‚Ė°)\vert(\dfrac{1}{5}c^3+\square)\vert\cdot \vert(\dfrac{1}{5}c^3-\square)‚ą£\vert=‚óĮ‚ąí481d4\bigcirc-\dfrac{4}{81}d^4

    2. Ersetzen Sie die Platzhalter der folgenden Gleichung so, dass eine quadratische Gleichung mit der Lösungsmenge L = {-4; 3} entsteht und schreiben Sie diese auf Ihr Lösungsblatt.

      (x+‚Ė°)‚čÖ(x‚ąí‚Ė≥)=0(x+\square)\cdot (x-\triangle)=0

  10. 10

    In einem Behälter befinden sich genau vier Kugeln. Sie sind mit den Ziffern 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert.

    1. Mit den vier Kugeln kann man unterschiedliche Zahlen legen. Ermitteln Sie rechnerisch die Anzahl aller Kombinationsm√∂glichkeiten f√ľr eine vierstellige Zahl.


    2. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen und nicht mehr zur√ľckgelegt. Aus beiden gezogenen Ziffern wird ein Bruch gebildet. Die zuerst gezogene Ziffer bildet den Z√§hler, die zweite den Nenner des Bruches. Geben Sie die Ergebnismenge mit allen bei diesem Vorgang m√∂glichen Br√ľchen an und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der gebildete Bruch den Wert 0,5 hat.


    3. Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus einem Baumdiagramm zu einem weiteren Zufallsexperiment. Begr√ľnden Sie, dass das Experiment mit Zur√ľcklegen der Kugeln durchgef√ľhrt wurde.

      Baumdiagramm

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