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Aufgabengruppe I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF. 

(Kleine Änderungen der Formulierung aufgrund der Umwandlung in ein digitales Medium sind kursiv geschrieben.)

  1. 1

    Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen einer Normalparabel p1p_1.

    Parabel
    1. Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von p1p_1 in der Normalform.

    2. Überprüfen Sie durch Rechnung, ob die Punkte A(12)A(-1|2) und B(31,5)B(-3|-1{,}5) auf der Normalparabel p2p_2 mit der Funktionsgleichung p2p_2: y=x2+4x+1,5y=x^2+4x+1{,}5 liegen.

    3. Ermitteln Sie rechnerisch den Scheitelpunkt S2S_2 der Parabel p2p_2.

    4. Die Gerade g mit der Funktionsgleichung y=2x+0,5y=2x+0{,}5 hat mit der Parabel p2p_2 den Punkt RR gemeinsam. Berechnen Sie die Koordinaten von RR und geben Sie diesen Punkt an.

    5. Zeichnen Sie die Graphen der Parabel p2p_2 und der Geraden gg in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm1\ cm.

    6. Eine nach unten geöffnete Normalparabel p3p_3 hat den Scheitelpunkt S3(0,54)S_3(-0{,}5|4). Durch Spiegelung an der y-Achse entsteht p4p_4. Durch eine weitere Spiegelung von p4p_4 an der x-Achse entsteht p5p_5. Geben Sie die Funktionsgleichung der Parabel p5p_5 in der Scheitelpunktform an und stellen Sie Ihren Lösungsweg nachvollziehbar dar.

  2. 2

    Das radioaktive Element Kobalt-60 hat eine Halbwertszeit von fünf Jahren.

    1. In einem Behälter befinden sich 3,675 kg Kobalt-60. Berechnen Sie, wie viele Kilogramm nach 13 Jahren von dieser Menge noch vorhanden sind.

    2. Ermitteln Sie rechnerisch, nach wie vielen Jahren von den 3,675 kg Kobalt-60 nur noch 0,1 kg vorhanden sind.

    3. Berechnen Sie die Ausgangsmenge des radioaktiven Elements Kobalt-60, von der nach 38 Jahren noch 0,742 kg vorhanden sind.

  3. 3

    In der folgenden Skizze gilt: AF=4cm\overline{AF}=4\,\text{cm}; AD=5cm\overline{AD}=5\,\text{cm}; DF:BC=1:3\overline{DF}:\overline{BC}=1:3; DFBC\overline{DF}||\overline{BC} .

    Berechnen Sie die Länge der Strecke \overline{}CE\overline{CE} in cm.

    Dreieck
    cm
  4. 4

    Vereinfachen Sie den unten stehenden Term so weit wie möglich. Es gilt: x,y>0x,y>0

    2x50,5y34x32y8y2x7+x32x\dfrac{2\cdot x^5\cdot0{,}5\cdot y^{-3}\cdot4x^3\cdot2\cdot y}{8\cdot y^{-2}\cdot x^7}+\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}


  5. 5

    Lösen Sie folgende Aufgaben.

    1. Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden g1g_1, die durch die Punkte C(62)C(6|2) und D(31)D(-3|-1) verläuft.

    2. Die Gerade g3g_3 verläuft durch den Punkt B(1123)B(11|-23)und steht senkrecht auf der Geraden g2g_2: y=xy=x. Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden g3g_3.

    3. Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung einer Geraden g4g_4 an, die parallel zur Geraden g2g_2: y=xy=x verläuft und nicht auf g2g_2 liegt.

    4. Der Punkt A(41)A(4|-1) liegt auf der Geraden g5g_5: y=m5x4y=m_5x-4. Bestimmen Sie die Steigung m5m_5 rechnerisch.


    5. Die Gerade g6g_6: y=x2,5y=x-2{,}5 und die Gerade g7g_7 mit der Funktionsgleichung

      g7g_7: 2x=3,5y2x=3{,}5-y schneiden sich im Punkt SS. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts SS und geben Sie diesen Punkt an.

      Zum Beispiel so: "(3|-2,5)"


    6. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts NN der Geraden g7g_7 mit der x-Achse und geben Sie diesen Punkt an.

      Zum Beispiel so: "(3|-2,5)"


    7. Zeichnen Sie die Geraden g5g_5 und g6g_6 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1cm.

  6. 6

    Lösen Sie die folgende Gleichung rechnerisch. Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.

    xx+3+2=13x4(x2)\dfrac{-x}{x+3}+2=1-\dfrac{3x}{4\cdot (x-2)}

  7. 7

    Eine Metallkugel mit einem Durchmesser von 40 mm soll eingeschmolzen und zu sechs gleich großen Kugeln umgeformt werden.

    Zeigen Sie durch Rechnung, dass die sechs kleineren Kugeln zusammen einen größeren Oberflächeninhalt haben als die ursprüngliche Kugel.

  8. 8

    Es gilt g1g2g3g_1‖g_2‖g_3.

    Skizze
    1. Von den folgenden vier Aussagen geben zwei die Streckenverhältnisse richtig wieder.

    2. Berechnen Sie die Länge der Strecke FC\overline{FC}, wenn folgende Streckenlängen gegeben sind: ZC=21cm\overline{ZC}=21cm; BC=7cm\overline{BC}=7cm; EB=8cm\overline{EB}=8cm.

  9. 9

    Folgende Aufgaben sind Anwendungen von binomischen Formeln und quadratischen Gleichungen.

    1. Ersetzen Sie die Symbole \square, \triangle und \bigcirc jeweils durch den entsprechenden Term und schreiben Sie die mathematisch richtige Gleichung auf Ihr Lösungsblatt.

      (1) (2)2=+4b16(2-\square)^2=\triangle-\bigcirc+4b^{16}

      (2) (15c3+)(15c3)\vert(\dfrac{1}{5}c^3+\square)\vert\cdot \vert(\dfrac{1}{5}c^3-\square)\vert=481d4\bigcirc-\dfrac{4}{81}d^4

    2. Ersetzen Sie die Platzhalter der folgenden Gleichung so, dass eine quadratische Gleichung mit der Lösungsmenge L = {-4; 3} entsteht und schreiben Sie diese auf Ihr Lösungsblatt.

      (x+)(x)=0(x+\square)\cdot (x-\triangle)=0

  10. 10

    In einem Behälter befinden sich genau vier Kugeln. Sie sind mit den Ziffern 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert.

    1. Mit den vier Kugeln kann man unterschiedliche Zahlen legen. Ermitteln Sie rechnerisch die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten für eine vierstellige Zahl.


    2. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen und nicht mehr zurückgelegt. Aus beiden gezogenen Ziffern wird ein Bruch gebildet. Die zuerst gezogene Ziffer bildet den Zähler, die zweite den Nenner des Bruches. Geben Sie die Ergebnismenge mit allen bei diesem Vorgang möglichen Brüchen an und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der gebildete Bruch den Wert 0,5 hat.


    3. Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus einem Baumdiagramm zu einem weiteren Zufallsexperiment. Begründen Sie, dass das Experiment mit Zurücklegen der Kugeln durchgeführt wurde.

      Baumdiagramm

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