Aufgabengruppe II - lernen mit Serlo!

Gegeben ist der Graph der Funktion $g_{1}$ .

Geben Sie die Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y = m \cdot x + t$
Den $y$ -Achsenabschnitt kannst Du aus der Skizze ablesen: $t_{1} = 3$
Setze die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $g_{1}$ mit der $x$ -Achse in die Geradengleichung ein, und berechne die Steigung $m_{1}$ .
$\begin{array}{l} y = m x + t \\ 0 = 4,5 m + 3 | - (4,5 m) \\ - 4,5 m = 3 | : (- 4,5) \Rightarrow m_{1} = - \frac{2}{3} \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$ lautet:
$g_{1} : y = - \frac{2}{3} x + 3$
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Die Gerade $g_{2}$ verläuft durch die Punkte $A (6 | 3)$ und $B (- 2 | 5)$ . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden $g_{2}$ rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y = m \cdot x + t$
Setze $A$ und $B$ in die Geradengleichung ein.
$(A) : 6 m + t = 3$
$(B) : - 2 m + t = 5 \Rightarrow t = 5 + 2 m$
$(B) i n (A) : 6 m + (5 + 2 m)$ $=$ $3$
↓
fasse zusammen
$8 m + 5$ $=$ $3$ $- 5$
$8 m$ $=$ $- 2$ $: 8$
$m_{2}$ $=$ $- \frac{2}{8}$
Setze $m_{2}$ in $(B)$ ein und berechne $t_{2}$ .
$t = 5 + 2 \cdot (- \frac{1}{4}) \Rightarrow t = 5 - \frac{1}{2} \Rightarrow t_{2} = 4,5$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{2}$ lautet:
$g_{2} : y = - \frac{1}{4} x + 4,5$
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Die Gerade $g_{3}$ : $y = - 2 x + 6$ schneidet die Gerade $g_{4}$ : $y = 0,5 x - 1,5$ im Punkt $T$ . Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Schnittpunkts $T$ rechnerisch und geben Sie den Punkt an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Berechnung des Schnittpunktes $T$ .
Setze $g_{3} = g_{4}$
$- 2 x + 6$ $=$ $0,5 x - 1,5$ $- 0,5 x$
↓
subtrahiere
$- 2,5 x + 6$ $=$ $- 1,5$ $- 6$
↓
subtrahiere
$- 2,5 x$ $=$ $- 7,5$ $: (- 2,5)$
↓
dividiere
$x$ $=$ $3$
Setze $x = 3$ in $g_{3}$ oder $g_{4}$ ein und berechne $y .$
x eingesetzt in $g_{3}$ ergibt:
$- 2 \cdot 3 + 6 = y \Rightarrow y = 0$
Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:
$T (3 | 0)$
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Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt $P (7,25 | 11,75)$ auf der Geraden $g_{3}$ liegt.
- Ja, der Punkt $P (7,25 | 11,75)$ liegt auf der Geraden $g_{3}$ .
- Nein, er liegt nicht auf der Geraden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Setze die Koordinaten des Punktes $P$ in die Geradengleichung
$g_{3} : y = - 2 x + 6$ ein.
$11,75 = - 2 \cdot 7,25 + 6$
$11,75 \neq - 8,5 \Rightarrow$ der Punkt $P$ liegt nicht auf der Geraden $g_{3}$
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Zeichnen Sie die Geraden $g_{3}$ und $g_{4}$ in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
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Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_{5}$ : $0 = - y - 4 x + 0,5$ mit der x-Achse und geben Sie $N$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_{5}$ mit der
x-Achse.
Setze $g_{5} = 0$ und berechne $x$ .
Nach $y$ umgeformt lautet $g_{5} : y = - 4 x + 0,5$
$- 4 x + 0,5 = 0$
$- 4 x + 0,5$ $=$ $0$ $- 0,5$
$- 4 x$ $=$ $- 0,5$ $: (- 4)$
$x$ $=$ $\frac{1}{8}$
Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g_{5}$ mit der $x -$ Achse sind dann:
$N (\frac{1}{8} | 0)$
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Erstellen Sie eine Wertetabelle mit 2 Wertepaaren zur Geraden $g_{5}$ . Es soll gelten: $x, y \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertetabelle
Berechne $y$ indem Du die entsprechenden $x$ Werte in die Funktionsgleichung einsetzt.
Berechne y , setzte z.B. $1$ und $- 1$ in die Geradengleichung $\begin{array}{l} g_{5} : y = - 4 x + 0,5 \end{array}$ ein
$- 4 x + 0,5 = y \Rightarrow - 4 \cdot (- 1) + 0,5 = y \Rightarrow y = 4 + 0,5 \Rightarrow y = 4,5$
$- 4 x + 0,5 = y \Rightarrow - 4 \cdot 1 + 0,5 = y \Rightarrow y = - 4 + 0,5 \Rightarrow y = - 3,5$
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Berechnen Sie den Winkel α (siehe Zeichnung).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangens
Berechne den Winkel $α$ mit dem Tangens.
$tan α = \frac{3}{4,5} \Rightarrow tan α \approx 0,67 \Rightarrow α \approx 34^{\circ}$
Der Winkel $α$ beträgt ungefähr $34^{\circ}$
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