Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

Wird ein Würfel zweimal geworfen, dann gibt es für die Augensumme $4$ insgesamt $3$ mögliche Elementarereignisse: ${\{1;3}\}$, ${\{2;2}\}$ und ${\{3;1}\}$

Jedes Elementarereignis hat die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}= \dfrac{1}{36}$

Da es $3$ Elementarereignisse gibt, folgt:

$P(X=4)=3\cdot \dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{12}$

Für die Augensumme $10$ gibt es auch $3$ mögliche Elementarereignisse: ${\{6;4}\}$, ${\{5;5}\}$ und ${\{4;6}\}$

Jedes Elementarereignis hat die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}= \dfrac{1}{36}$

Da es $3$ Elementarereignisse gibt, folgt:

$P(X=10)=3\cdot \dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{12}$

Also gilt: $P(X=4)=P(X=10)=\dfrac{1}{12}$

In Aufgabe a) wurde nachgewiesen, dass die Wahrscheinlichkeit $P(X=4)$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(X=10)$ übereinstimmt. Betrachtet man die drei Verteilungen, dann kommen für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ nur die Diagramme $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ infrage, da hier jeweils $P(X=4)=P(X=10)$ ist. Beim Diagramm $\mathrm{III}$ ist $P(X=4)\neq P(X=10)$.

Vergleich der Diagramme $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$

$P(X=2)=\dfrac{1}{36}$ (es gibt nur ein Elementarereignis ${\{1;1}\}$)

$P(X=4)=\dfrac{1}{12}=3\cdot P(X=2)$

Vergleicht man nun die Höhe der Balken im Diagramm $\mathrm{I}$, dann ist $P(X=4)>3\cdot P(X=2)$, während für das Diagramm $\mathrm{II}$ gilt, $P(X=4)=3\cdot P(X=2)$.

Das Diagramm $\mathrm{II}$ gehört zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.

Bei der Zufallsgröße Y ist die Anzahl der schwarzen Kugeln größer als die Anzahl der weißen Kugeln. Es handelt sich hier nicht um eine symmetrische Verteilung.

Dazu passt das Diagramm $\mathrm{III}$, das nicht symmetrisch ist.

Das Diagramm $\mathrm{III}$ gehört zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $Y$.