Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

Wird ein Würfel zweimal geworfen, dann gibt es für die Augensumme $4$ insgesamt $3$ mögliche Elementarereignisse: $\{1;3\}$, $\{2;2\}$ und $\{3;1\}$

Jedes Elementarereignis hat die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{36}}$

Da es $3$ Elementarereignisse gibt, folgt:

$P(X=4)=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{36}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$

Für die Augensumme $10$ gibt es auch $3$ mögliche Elementarereignisse: $\{6;4\}$, $\{5;5\}$ und $\{4;6\}$

Jedes Elementarereignis hat die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{36}}$

Da es $3$ Elementarereignisse gibt, folgt:

$P(X=10)=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{36}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$

Also gilt: $P(X=4)=P(X=10)={\displaystyle \frac{1}{12}}$

In Aufgabe a) wurde nachgewiesen, dass die Wahrscheinlichkeit $P(X=4)$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(X=10)$ übereinstimmt. Betrachtet man die drei Verteilungen, dann kommen für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ nur die Diagramme $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ infrage, da hier jeweils $P(X=4)=P(X=10)$ ist. Beim Diagramm $\mathrm{III}$ ist $P(X=4)\ne P(X=10)$.

Vergleich der Diagramme $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$

$P(X=2)={\displaystyle \frac{1}{36}}$ (es gibt nur ein Elementarereignis $\{1;1\}$)

$P(X=4)={\displaystyle \frac{1}{12}}=3\cdot P(X=2)$

Vergleicht man nun die Höhe der Balken im Diagramm $\mathrm{I}$, dann ist $P(X=4)>3\cdot P(X=2)$, während für das Diagramm $\mathrm{II}$ gilt, $P(X=4)=3\cdot P(X=2)$.

Das Diagramm $\mathrm{II}$ gehört zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.

Bei der Zufallsgröße Y ist die Anzahl der schwarzen Kugeln größer als die Anzahl der weißen Kugeln. Es handelt sich hier nicht um eine symmetrische Verteilung.

Dazu passt das Diagramm $\mathrm{III}$, das nicht symmetrisch ist.

Das Diagramm $\mathrm{III}$ gehört zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $Y$.