Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Kugelgleichung

Die allgemeine Kugelgleichung mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ lautet:

$K:\;   \left(\vec x-\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}\right)^2=r^2$

Setze die gegebenen Werte in die Kugelgleichung ein:

$K:\;   \left(\vec x-\begin{pmatrix}3\\-6\\5\end{pmatrix}\right)^2=\left(2\sqrt{6}\right)^2$

Die rechte Seite der Gleichung kannst du weiter zusammenfassen:

$\left(2\sqrt{6}\right)^2=4\cdot6=24$

In Koordinatenschreibweise erhält man dann:

$K:\; (x_1-3)^2+(x_2+6)^2+(x_3-5)^2=24$

Punktprüfung

Setze die Koordinaten des Punktes $P(5|-4|1)$ in die Kugelgleichung ein:

Man hat eine wahre Aussage erhalten. Der Punkt $P$ erfüllt die Kugelgleichung, d.h. er liegt auf $K$.

Der Abstand $d$ der Kugel $K$ zur $x_1x_2$-Ebene ist die $x_3$-Koordinate von $M(3|-6|5)$.

$\;\Rightarrow\; d=5$

Dieser Abstand $d$ muss nun mit dem Kugelradius $r$ verglichen werden:

Wegen $2\sqrt{6}\approx 4{,}90 <5$ ist der Abstand zur Ebene größert als der Kugelradius. Daher wird die $x_1x_2$​-Ebene nicht von der Kugel $K$ geschnitten.