Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Kugel $K$ mit Mittelpunkt $M (3 | - 6 | 5)$ und Radius $2 \sqrt{6}$ .

Geben Sie eine Gleichung von $K$ in Koordinatenform an und zeigen Sie, dass der Punkt $P (5 | - 4 | 1)$ auf $K$ liegt. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugeln in der analytischen Geometrie
Kugelgleichung
Die allgemeine Kugelgleichung mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ lautet:
$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} m_{1} \\ m_{2} \\ m_{3} \end{array}))}^{2} = r^{2}$
Setze die gegebenen Werte in die Kugelgleichung ein:
$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 5 \end{array}))}^{2} = {(2 \sqrt{6})}^{2}$
Die rechte Seite der Gleichung kannst du weiter zusammenfassen:
${(2 \sqrt{6})}^{2} = 4 \cdot 6 = 24$
In Koordinatenschreibweise erhält man dann:
$K : (x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} + 6)^{2} + (x_{3} - 5)^{2} = 24$
Punktprüfung
Setze die Koordinaten des Punktes $P (5 | - 4 | 1)$ in die Kugelgleichung ein:
$24$ $=$ $(x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} + 6)^{2} + (x_{3} - 5)^{2}$
↓
Koordinaten des Punktes $P (5 | - 4 | 1)$ in die Kugelgleichung einsetzen.
$24$ $=$ $(5 - 3)^{2} + (- 4 + 6)^{2} + (1 - 5)^{2}$
$24$ $=$ $2^{2} + 2^{2} + (- 4)^{2}$
$24$ $=$ $4 + 4 + 16$
$24$ $=$ $24$
Man hat eine wahre Aussage erhalten. Der Punkt $P$ erfüllt die Kugelgleichung, d.h. er liegt auf $K$ .
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Stelle zunächst die Kugelgleichung in Koordinatenschreibweise auf und setze dann den Punkt P ein.
Untersuchen Sie, ob $K$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene schneidet. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugeln in der analytischen Geometrie
Der Abstand $d$ der Kugel $K$ zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene ist die $x_{3}$ -Koordinate von $M (3 | - 6 | 5)$ .
$\Rightarrow d = 5$
Dieser Abstand $d$ muss nun mit dem Kugelradius $r$ verglichen werden:
Wegen $2 \sqrt{6} \approx 4,90 < 5$ ist der Abstand zur Ebene größert als der Kugelradius. Daher wird die $ x_{1} x_{2}$ -Ebene nicht von der Kugel $K$ geschnitten.
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Eine Kugel wird dann von einer Ebene geschnitten, wenn der Abstand des Kugelmittelpunktes zur Ebene kleiner als der Kugelradius ist.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$24$	$=$	$(x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} + 6)^{2} + (x_{3} - 5)^{2}$
	↓	Koordinaten des Punktes $P (5 \| - 4 \| 1)$ in die Kugelgleichung einsetzen.
$24$	$=$	$(5 - 3)^{2} + (- 4 + 6)^{2} + (1 - 5)^{2}$
$24$	$=$	$2^{2} + 2^{2} + (- 4)^{2}$
$24$	$=$	$4 + 4 + 16$
$24$	$=$	$24$

Kugelgleichung

Punktprüfung

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