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Kurs

Einführung der Ableitung

10Änderungsraten und Ableitung - Eine Übersicht

Mittlere Änderungsrate

Momentane Änderungsrate

Bedeutung

Gibt einen durchschnittlichen Wert für die Steigung auf einem festen Bereich (Intervall) [x1,x2]\left[x_1,x_2\right] an.

Gibt den Wert einer Steigung genau an einer Stelle f(x0)f\left(x_0\right) an.

Formel

m=y2−y1x2−x1=f(x2)−f(x1)x2−x1\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}

lim⁡h→0 f(x0+h)−f(x0)h\displaystyle \lim_{h\to0}\ \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}
MerkeAbleitung einer Funktion

Die momentane Änderungsrate an einer Stelle x0x_0 wird auch bezeichnet mit:

f′(x0)=lim⁡h→0 f(x0+h)−f(x0)h\displaystyle f'\left(x_0\right)=\lim_{h\to0}\ \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}

Hier wird f′(x0)f'\left(x_0\right) auch bezeichnet als Ableitung der Funktion ff in der Stelle x0x_0.

Die Ableitung f′(x)f'\left(x\right) ist eine neue Funktion, die an der jeder Stelle als Funktionswerte die Steigung von f(x)f\left(x\right) besitzt.


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