Die letzte Frage erscheint etwas komisch. Wie kann mathematisch kein klares Ergebnis herauskommen, wenn es doch eigentlich eine Geschwindigkeit gibt in jedem Moment? Der Tacho im Auto zeigt nämlich keine "Durchschnittsgeschwindigkeiten", sondern eigentlich momentane Geschwindigkeiten.
Versuchen wir doch einmal, die Momentangeschwindigkeit zur Zeit anzunähern.
Rücken wir den Punkt B doch einmal ganz nahe an A heran.
Die mittlere Änderungsrate würde hier
ergeben.
Wir wiederholen das für einen noch näheren Punkt B:
Die mittlere Änderungsrate auf dem noch kleineren Bereich zeigt viel besser, was einer Momentangeschwindigkeit entsprechen würde:
Geometrisch ist die Sekante durch zwei Punkte auf dem Funktionsgraph festgelegt. Nähern wir den einen Punkt nun beliebig nahe zum anderen hin, erhalten wir eine Gerade, die den Funktionsgraphen nur in einem Punkt berührt - eine Tangente.
Also nähern wir eine momentane Änderungsrate von einer mittleren Änderungsrate her.
Übungsaufgabe
Mithilfe der Formel für die mittlere Änderungsrate kann von der Funktion nun eine Momentangeschwindigkeit für "nahe" angenähert werden.
Bestimme den Wert für bei .
Wiederhole diese Berechnung für .
Äußere eine Vermutung, welchem Wert sich dieser Prozess annähert.
