Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.

Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

Funktion f(x)

Prüfe, wann der Radikand $4-x4-x$ größer oder gleich null ist.

Damit hat die Funktion $ff$ den Definitionsbereich ${\mathbb{D}}_f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }x\le 4\}\backslash mathbb\; D\_f=\; \backslash \{x\backslash in\; \backslash mathbb\; R\backslash ;|\backslash ;x\backslash leq\; 4\backslash \}$

Funktion g(x)

Prüfe, wann der Radikand $5x+15x+1$ größer oder gleich null ist.

Damit hat die Funktion $gg$ den Definitionsbereich ${\mathbb{D}}_g=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }x\ge -\frac{1}{5}\}\backslash mathbb\; D\_g=\; \backslash \{x\backslash in\; \backslash mathbb\; R\backslash ;|\backslash ;x\backslash geq\; -\backslash frac\{1\}\{5\}\backslash \}$

Funktion f(x)

Schnittpunkt mit der $xx$-Achse: Setze $f(x)=0f(x)=0$:

Die Funktion $ff$ schneidet die $xx$-Achse im Punkt $N(4\mathrm{\mid }0)N(4|0)$.

Schnittpunkt mit der $yy$-Achse: Setze $x=0x=0$ ein:

Die Funktion $ff$ schneidet die $yy$-Achse im Punkt $S_y(0\mathrm{\mid }2)S\_y(0|2)$.

Funktion g(x)

Schnittpunkt mit der $xx$-Achse: Setze $g(x)=0g(x)=0$:

Die Funktion $gg$ schneidet die $xx$-Achse im Punkt $N(-\frac{1}{5}\mathrm{\mid }0)N(-\backslash frac\{1\}\{5\}|0)$.

Schnittpunkt mit der $yy$-Achse: Setze $x=0x=0$ ein:

Die Funktion $gg$ schneidet die $yy$-Achse im Punkt $S_y(0\mathrm{\mid }1)S\_y(0|1)$.

Für beide Funktionen werden einige Funktionswerte berechnet.

$f(x)=\sqrt{4-x}\backslash textcolor\{006400\}\{f(x)=\backslash sqrt\{4-x\}\}$

$g(x)=\sqrt{5x+1}\backslash textcolor\{ff6600\}\{g(x)=\backslash sqrt\{5x+1\}\; \}$

Setze $f(x)=g(x)f(x)=g(x)$:

Du hast die Lösung $x=\frac{1}{2}x=\backslash frac\{1\}\{2\}$ erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösung wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, ob $x=\frac{1}{2}x=\backslash frac\{1\}\{2\}$ im gemeinsamen Definitionsbereich der beiden Funktionen liegt.

Außerdem ist eine Probe erforderlich.

Der gemeinsame Definitionsbereich $\mathbb{D}\backslash mathbb\; D$ der beiden Funktionen lautet:

$\mathbb{D}=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }-\frac{1}{5}\le x\le 4\}\backslash mathbb\; D=\; \backslash \{x\backslash in\; \backslash mathbb\; R\backslash ;|-\backslash frac\{1\}\{5\}\backslash leq\; x\backslash leq\; 4\backslash \}$. Die Lösung $x=\frac{1}{2}x=\backslash frac\{1\}\{2\}$ ist in diesem Definitionsbereich enthalten.

Mache nun eine Probe:

Setze $x=\frac{1}{2}x=\backslash frac\{1\}\{2\}$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{4-x}=\sqrt{5x+1}\backslash sqrt\{4-x\}=\backslash sqrt\{5x+1\}$ ein:

Mit der Probe für $x=\frac{1}{2}x=\backslash frac\{1\}\{2\}$ hast du gleichzeitig den $yy$-Wert des Schnittpunkts berechnet:$f(\frac{1}{2})=g(\frac{1}{2})=\sqrt{\mathrm{3,5}}\approx \mathrm{1,87} f(\backslash frac\{1\}\{2\})=g(\backslash frac\{1\}\{2\})=\backslash sqrt\{3\{,\}5\}\backslash approx1\{,\}87$

Antwort: Der Schnittpunkt der beiden Funktionen hat die Koordinaten $S(\mathrm{0,5}\mathrm{\mid }\mathrm{1,87})S(0\{,\}5|1\{,\}87)$.

Hinweis: Der Schnittpunkt ist in der Abbildung zu Aufgabe c) eingezeichnet.

Die Funktion $ff$ wird um $22$ nach rechts verschoben:

$f(x-2)=\sqrt{4-(x-2)}=\sqrt{6-x}f(x-2)=\backslash sqrt\{4-(x-2)\}=\backslash sqrt\{6-x\}$ und anschließend mit dem Faktor $33$ gestreckt:

Die Funktion $gg$ wird um $22$ nach rechts verschoben:

$g(x-2)=\sqrt{5\cdot (x-2)+1}=\sqrt{5x-9}g(x-2)=\backslash sqrt\{5\backslash cdot(x-2)+1\}=\backslash sqrt\{5x-9\}$ und anschließend mit dem Faktor $33$ gestreckt: