Aufgaben zu Potenz- und Wurzelfunktionen

Gegeben sind die beiden Wurzelfunktionen $f (x) = \sqrt{4 - x}$ und $g (x) = \sqrt{5 x + 1}$ .

Bestimme für beide Funktionen jeweils den maximalen Definitionsbereich.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.
Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Funktion f(x)
Prüfe, wann der Radikand $4 - x$ größer oder gleich null ist.
$4 - x$ $\geq$ $0$ $+ x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$4$ $\geq$ $x$
Damit hat die Funktion $f$ den Definitionsbereich $𝔻_{f} = {x \in ℝ | x \leq 4}$
Funktion g(x)
Prüfe, wann der Radikand $5 x + 1$ größer oder gleich null ist.
$5 x + 1$ $\geq$ $0$ $- 1$
↓
Löse nach $x$ auf.
$5 x$ $\geq$ $- 1$ $: 5$
$x$ $\geq$ $- \frac{1}{5}$
Damit hat die Funktion $g$ den Definitionsbereich $𝔻_{g} = {x \in ℝ | x \geq - \frac{1}{5}}$
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Gib für beide Funktionen jeweils die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Funktion f(x)
Schnittpunkt mit der $x$ -Achse: Setze $f (x) = 0$ :
$\sqrt{4 - x}$ $=$ $0$ $()^{2}$
↓
Löse nach $x$ auf.
$4 - x$ $=$ $0$ $+ x$
$4$ $=$ $x$
Die Funktion $f$ schneidet die $x$ -Achse im Punkt $N (4 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der $y$ -Achse: Setze $x = 0$ ein:
$f (x)$ $=$ $\sqrt{4 - x}$
↓
Setze $x = 0$ ein.
$f (0)$ $=$ $\sqrt{4 - 0}$
$=$ $\sqrt{4}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$=$ $2$
Die Funktion $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_{y} (0 | 2)$ .
Funktion g(x)
Schnittpunkt mit der $x$ -Achse: Setze $g (x) = 0$ :
$\sqrt{5 x + 1}$ $=$ $0$ $()^{2}$
↓
Löse nach $x$ auf.
$5 x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$5 x$ $=$ $- 1$ $: 5$
$x$ $=$ $- \frac{1}{5}$
Die Funktion $g$ schneidet die $x$ -Achse im Punkt $N (- \frac{1}{5} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der $y$ -Achse: Setze $x = 0$ ein:
$g (x)$ $=$ $\sqrt{5 x + 1}$
↓
Setze $x = 0$ ein.
$g (0)$ $=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 1}$
$=$ $\sqrt{1}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$=$ $1$
Die Funktion $g$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_{y} (0 | 1)$ .
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Zeichne beide Graphen für $- 5 \leq x \leq 5$ in ein Koordinatensystem ein. Rechne dazu einige Funktionswerte aus.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatensystem
Für beide Funktionen werden einige Funktionswerte berechnet.
$f (x) = \sqrt{4 - x}$
$x$
$f (x)$
$- 5$
$3$
$- 2$
$2,45$
$0$
$2$
$1$
$1,73$
$2$
$1,41$
$3$
$1$
$4$
$0$
$g (x) = \sqrt{5 x + 1}$
$x$
$g (x)$
$- 0,2$
0
$0$
$1$
$1$
$2,45$
$2$
$3,32$
$3$
$4$
$4$
$4,58$
$5$
$5,1$
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In welchem Punkt $S$ schneiden sich die Graphen von $f$ und $g$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt zweier Funktionen
Setze $f (x) = g (x)$ :
$\sqrt{4 - x}$ $=$ $\sqrt{5 x + 1}$ $()^{2}$
↓
Löse nach $x$ auf.
$4 - x$ $=$ $5 x + 1$ $+ x - 1$
$3$ $=$ $6 x$ $: 6$
$x$ $=$ $\frac{3}{6}$
↓
Kürze
$=$ $\frac{1}{2}$
Du hast die Lösung $x = \frac{1}{2}$ erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösung wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, ob $x = \frac{1}{2}$ im gemeinsamen Definitionsbereich der beiden Funktionen liegt.
Außerdem ist eine Probe erforderlich.
Der gemeinsame Definitionsbereich $𝔻$ der beiden Funktionen lautet:
$𝔻 = {x \in ℝ | - \frac{1}{5} \leq x \leq 4}$ . Die Lösung $x = \frac{1}{2}$ ist in diesem Definitionsbereich enthalten.
Mache nun eine Probe:
Setze $x = \frac{1}{2}$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{4 - x} = \sqrt{5 x + 1}$ ein:
$\sqrt{4 - \frac{1}{2}}$ $=$ $\sqrt{5 \cdot \frac{1}{2} + 1}$
↓
Vereinfache.
$\sqrt{3,5}$ $=$ $\sqrt{2,5 + 1}$
↓
Fasse zusammen.
$\sqrt{3,5}$ $=$ $\sqrt{3,5} ✓$
Mit der Probe für $x = \frac{1}{2}$ hast du gleichzeitig den $y$ -Wert des Schnittpunkts berechnet: $f (\frac{1}{2}) = g (\frac{1}{2}) = \sqrt{3,5} \approx 1,87$
Antwort: Der Schnittpunkt der beiden Funktionen hat die Koordinaten $S (0,5 | 1,87)$ .
Hinweis: Der Schnittpunkt ist in der Abbildung zu Aufgabe c) eingezeichnet.
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Beide Funktionen werden um $2$ nach rechts verschoben und mit dem Faktor $3$ gestreckt. Wie heißen die neuen Funktionsgleichungen $f^{*}$ und $g^{*}$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen stauchen und strecken
Die Funktion $f$ wird um $2$ nach rechts verschoben:
$f (x - 2) = \sqrt{4 - (x - 2)} = \sqrt{6 - x}$ und anschließend mit dem Faktor $3$ gestreckt:
$f^{*} (x) = 3 \cdot \sqrt{6 - x}$
Die Funktion $g$ wird um $2$ nach rechts verschoben:
$g (x - 2) = \sqrt{5 \cdot (x - 2) + 1} = \sqrt{5 x - 9}$ und anschließend mit dem Faktor $3$ gestreckt:
$g^{*} (x) = 3 \cdot \sqrt{5 x - 9}$
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$x$	$f (x)$
$- 5$	$3$
$- 2$	$2,45$
$0$	$2$
$1$	$1,73$
$2$	$1,41$
$3$	$1$
$4$	$0$

$x$	$g (x)$
$- 0,2$	0
$0$	$1$
$1$	$2,45$
$2$	$3,32$
$3$	$4$
$4$	$4,58$
$5$	$5,1$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$5 x + 1$	$\geq$	$0$	$- 1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$5 x$	$\geq$	$- 1$	$: 5$
$x$	$\geq$	$- \frac{1}{5}$

$\sqrt{4 - x}$	$=$	$0$	$()^{2}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$4 - x$	$=$	$0$	$+ x$
$4$	$=$	$x$

$f (x)$	$=$	$\sqrt{4 - x}$
	↓	Setze $x = 0$ ein.
$f (0)$	$=$	$\sqrt{4 - 0}$
	$=$	$\sqrt{4}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$2$

$\sqrt{5 x + 1}$	$=$	$0$	$()^{2}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$5 x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
$5 x$	$=$	$- 1$	$: 5$
$x$	$=$	$- \frac{1}{5}$

$\sqrt{4 - \frac{1}{2}}$	$=$	$\sqrt{5 \cdot \frac{1}{2} + 1}$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{3,5}$	$=$	$\sqrt{2,5 + 1}$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{3,5}$	$=$	$\sqrt{3,5} ✓$

Funktion f(x)

Funktion g(x)

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Funktion f(x)

Funktion g(x)

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