Aufgaben zu Spurpunkten einer Geraden

Berechne die möglichen Spurpunkte der gegebenen Geraden.

Skizziere jeweils die Geraden und gib an, welche Lage die Geraden im Koordinatensystem haben.

$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Spurpunkte berechnen
Um den Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene zu berechnen, setzt man $x_{3} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ :
$x_{3}$ $=$ $3 + r \cdot 0$
↓
Setze $x_{3} = 0$ .
$0$ $=$ $3 + r \cdot 0$
Die erhaltene Gleichung $0 = 3 + r \cdot 0$ ist für kein $r$ erfüllbar (falsche Aussage).
Somit gibt es keinen Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene.
Für die Berechnung des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{2} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .
$x_{2}$ $=$ $2 + 2 \cdot r$
↓
Setze $x_{2} = 0$ .
$0$ $=$ $2 + 2 \cdot r$ $- 2$
↓
Löse nach $r$ auf.
$- 2$ $=$ $2 \cdot r$ $: 2$
$r$ $=$ $- 1$
Der Wert $r = - 1$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene zu berechnen:
${\vec{X}}_{S_{13}}$ $=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
↓
Setze $r = - 1$ ein.
$=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
↓
Vereinfache
$=$ $(\begin{array}{c} 1 + 1 \\ 2 - 2 \\ 3 - 0 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{13} (2 | 0 | 3)$ .
Für den Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{1} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .
$x_{1}$ $=$ $1 - r$
↓
Setze $x_{1} = 0$ .
$0$ $=$ $1 - r$ $+ r$
↓
Löse nach $r$ auf.
$r$ $=$ $1$
Der Wert $r = 1$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene zu berechnen:
${\vec{X}}_{S_{23}}$ $=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
↓
Setze $r = 1$ ein.
$=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 1 - 1 \\ 2 + 2 \\ 3 + 0 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{23} (0 | 4 | 3)$ .
Skizze der Geraden
Lage der Geraden im Koordinatensystem
Die Gerade $g$ ist parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene.
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$h : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Spurpunkte berechnen
Um den Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene zu berechnen, setzt man $x_{3} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ :
$x_{3}$ $=$ $1 - 2 \cdot r$
↓
Setze $x_{3} = 0$ .
$0$ $=$ $1 - 2 \cdot r$ $+ 2 r$
↓
Löse nach $r$ auf.
$2 \cdot r$ $=$ $1$ $: 2$
$r$ $=$ $\frac{1}{2}$
Der Wert $r = \frac{1}{2}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene zu berechnen:
${\vec{X}}_{S_{12}}$ $=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
↓
Setze $r = \frac{1}{2}$ ein.
$=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
↓
Vereinfache
$=$ $(\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \\ 2 + \frac{3}{2} \\ 1 - 1 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 1,5 \\ 3,5 \\ 0 \end{array})$
Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{12} (1,5 | 3,5 | 0)$ .
Für die Berechnung des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{2} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .
$x_{2}$ $=$ $2 + 3 \cdot r$
↓
Setze $x_{2} = 0$ .
$0$ $=$ $2 + 3 \cdot r$ $- 2$
↓
Löse nach $r$ auf.
$- 2$ $=$ $3 \cdot r$ $: 3$
$r$ $=$ $- \frac{2}{3}$
Der Wert $r = - \frac{2}{3}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene zu berechnen:
${\vec{X}}_{S_{13}}$ $=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
↓
Setze $r = - \frac{2}{3}$ ein.
$=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + (- \frac{2}{3}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
↓
Vereinfache
$=$ $(\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \\ 2 - 2 \\ 1 + \frac{4}{3} \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ 0 \\ \frac{7}{3} \end{array})$
Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{13} (\frac{1}{3} | 0 | \frac{7}{3})$ .
Für den Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{1} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .
$x_{1}$ $=$ $1 + r$
↓
Setze $x_{1} = 0$ .
$0$ $=$ $1 + r$ $- 1$
$r$ $=$ $- 1$
Der Wert $r = - 1$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene zu berechnen:
${\vec{X}}_{S_{23}}$ $=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
↓
Setze $r = - 1$ ein.
$=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
↓
Vereinfache
$=$ $(\begin{array}{c} 1 - 1 \\ 2 - 3 \\ 1 + 2 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{23} (0 | - 1 | 3)$ .
Skizze der Geraden
Lage der Geraden im Koordinatensystem
Die Gerade $h$ ist zu keiner Koordinatenebene parallel.
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$k : \vec{X} = r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Anhand der Geradengleichung kannst du feststellen, dass die Gerade $k$ durch den Koordinatenursprung verläuft. Sie ist außerdem zu keiner Koordinatenebene parallel. Es gibt somit nur einen Spurpunkt $S (0 | 0 | 0)$ .
Skizze der Geraden
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$l : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Spurpunkte berechnen
Um den Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene zu berechnen, setzt man $x_{3} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ :
$x_{3}$ $=$ $1 - 2 \cdot r$
↓
Setze $x_{3} = 0$ .
$0$ $=$ $1 - 2 \cdot r$ $+ 2 r$
$2 \cdot r$ $=$ $1$ $: 2$
$r$ $=$ $\frac{1}{2}$
Der Wert $r = \frac{1}{2}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene zu berechnen:
${\vec{X}}_{S_{12}}$ $=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
↓
Setze $r = \frac{1}{2}$ ein.
$=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + (\frac{1}{2}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $(\begin{array}{c} 0 + 0 \\ 2 + \frac{3}{2} \\ 1 - 1 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ 3,5 \\ 0 \end{array})$
Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{12} (0 | 3,5 | 0)$ .
Für die Berechnung des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{2} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .
$x_{2}$ $=$ $2 + 3 \cdot r$
↓
Setze $x_{2} = 0$ .
$0$ $=$ $2 + 3 \cdot r$ $- 2$
↓
Löse nach $r$ auf.
$- 2$ $=$ $3 \cdot r$ $: 3$
$r$ $=$ $- \frac{2}{3}$
Der Wert $r = - \frac{2}{3}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene zu berechnen:
${\vec{X}}_{S_{12}}$ $=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
↓
Setze $r = - \frac{2}{3}$ ein.
$=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + (- \frac{2}{3}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $(\begin{array}{c} 0 + 0 \\ 2 - 2 \\ 1 + \frac{4}{3} \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \frac{7}{3} \end{array})$
Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{13} (0 | 0 | \frac{7}{3})$ .
Für den Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{1} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .
$x_{1}$ $=$ $0 + 0 \cdot r$
↓
Setze $x_{1} = 0$ .
$0$ $=$ $0 + 0 \cdot r$
Du hast die Gleichung $0 = 0 + 0 \cdot r$ erhalten. Diese Gleichung ist für alle $r$ erfüllt ( wahre Aussage). Die Gerade hat somit unendlich viele Schnittpunkte mit der $x_{2} x_{3}$ -Ebene, d.h. die Gerade hat auch unendlich viele Spurpunkte in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene.
Skizze der Geraden
Lage der Geraden im Koordinatensystem
Die Gerade $l$ liegt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene.
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$x_{3}$	$=$	$3 + r \cdot 0$
	↓	Setze $x_{3} = 0$ .
$0$	$=$	$3 + r \cdot 0$

$x_{2}$	$=$	$2 + 2 \cdot r$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$0$	$=$	$2 + 2 \cdot r$	$- 2$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$- 2$	$=$	$2 \cdot r$	$: 2$
$r$	$=$	$- 1$

${\vec{X}}_{S_{13}}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
	↓	Setze $r = - 1$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
	↓	Vereinfache
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 + 1 \\ 2 - 2 \\ 3 - 0 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array})$

$x_{1}$	$=$	$1 - r$
	↓	Setze $x_{1} = 0$ .
$0$	$=$	$1 - r$	$+ r$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$r$	$=$	$1$

${\vec{X}}_{S_{23}}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
	↓	Setze $r = 1$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 - 1 \\ 2 + 2 \\ 3 + 0 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$

$x_{3}$	$=$	$1 - 2 \cdot r$
	↓	Setze $x_{3} = 0$ .
$0$	$=$	$1 - 2 \cdot r$	$+ 2 r$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$2 \cdot r$	$=$	$1$	$: 2$
$r$	$=$	$\frac{1}{2}$

${\vec{X}}_{S_{12}}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
	↓	Setze $r = \frac{1}{2}$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
	↓	Vereinfache
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \\ 2 + \frac{3}{2} \\ 1 - 1 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 1,5 \\ 3,5 \\ 0 \end{array})$

$x_{2}$	$=$	$2 + 3 \cdot r$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$0$	$=$	$2 + 3 \cdot r$	$- 2$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$- 2$	$=$	$3 \cdot r$	$: 3$
$r$	$=$	$- \frac{2}{3}$

${\vec{X}}_{S_{13}}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
	↓	Setze $r = - \frac{2}{3}$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + (- \frac{2}{3}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
	↓	Vereinfache
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \\ 2 - 2 \\ 1 + \frac{4}{3} \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ 0 \\ \frac{7}{3} \end{array})$

$x_{1}$	$=$	$1 + r$
	↓	Setze $x_{1} = 0$ .
$0$	$=$	$1 + r$	$- 1$
$r$	$=$	$- 1$

${\vec{X}}_{S_{12}}$	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
	↓	Setze $r = \frac{1}{2}$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + (\frac{1}{2}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$(\begin{array}{c} 0 + 0 \\ 2 + \frac{3}{2} \\ 1 - 1 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ 3,5 \\ 0 \end{array})$

$x_{1}$	$=$	$0 + 0 \cdot r$
	↓	Setze $x_{1} = 0$ .
$0$	$=$	$0 + 0 \cdot r$

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