Ereignis in aufzählender Mengenschreibweise

Elemente der Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }\backslash Omega$ sind Tupel der Form $(w_1,w_2)\backslash left(w\_1,w\_2\backslash right)$, wobei $w_1,w_2\in \{1;2;3;4;5;6\}w\_1,w\_\{2\backslash \; \}\backslash in\backslash left\backslash \{1;2;3;4;5;6\backslash right\backslash \}$ die jeweilige Augenzahl beim ersten Wurf bzw zweiten Wurf ist.

Die aufzählende Mengenschreibweise von E: "Augensumme höchstens drei" lautet also:

$E=\{(1;1),(1;2),(2;1)\}E=\backslash left\backslash \{\backslash left(1;1\backslash right),\backslash left(1;2\backslash right),\backslash left(2;1\backslash right)\backslash right\backslash \}$

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Da es sich um einen Laplace-Würfel handelt, sind alle Ergebnisse, also alle Augenzahlen, gleich wahrscheinlich. Somit ist also auch jedes Tupel bei zweimaligem Werfen gleich wahrscheinlich und das zweimalige Werfen ist ebenfalls ein Laplace-Experiment, bei dem jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist.

Bei einem Laplace-Experiment kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden durch:

$P\left(E\right)={\displaystyle \frac{\text{g}\ddot{\text{u}}\text{nstige Ergebnisse}}{\text{m}\ddot{\text{o}}\text{gliche Ergebnisse}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\mathrm{\Omega }\mathrm{\mid }}}P\backslash left(E\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash text\{günstige\; Ergebnisse\}\}\{\backslash text\{mögliche\; Ergebnisse\}\}=\backslash dfrac\{|E|\}\{|\backslash Omega|\}$

Dabei beschreiben die senkrechten Striche die Mächtigkeit einer Menge, also die Anzahl ihrer Elemente.

Es ist $\mid E\mid =3\backslash left|E\backslash right|=3$, denn es sind drei Tupel in der Menge enthalten.

Für $\mid \mathrm{\Omega }\mid \backslash left|\backslash Omega\backslash right|$ muss man sich überlegen, wie viele mögliche Kombinationen es beim zweimaligen Würfeln gibt. Beim ersten Wurf gibt es 6 mögliche Ausgänge. Für jedes dieser Ergebnisse gibt es beim 2. Wurf 6 mögliche Elemente. Insgesamt also:

$\mid \mathrm{\Omega }\mid =6\cdot 6=36\backslash left|\backslash Omega\backslash right|=6\backslash cdot6=36$ und somit $P\left(E\right)=\frac{3}{36}\approx 8,33\mathrm{\%}P\backslash left(E\backslash right)=\backslash frac\{3\}\{36\}\backslash approx8\{,\}33\backslash \%$