Lösung

Gegeben sind die Funktionen $g(x)=x+1$; $h(x)=6$ und die Punkte $A(-2-1)$.

und $B(4|6)$.

Quadratischer Ansatz für die Funktion $f(x)$: $f(x)=a{x}^2+bx+c$.

Die erste Ableitung von $f(x)$ lautet: $f^{\prime }(x)=2ax+b$.

Die erste Ableitung von $g(x)$ lautet: $g^{\prime }(x)=1$.

Die erste Ableitung von $h(x)$ lautet: $h^{\prime }(x)=0$.

1. versatzfrei: $f(-2)=g(-2)=-1$ $\Rightarrow$ $-1=4a-2b+c$ $(1)$ $f(4)=h(4)=6$ $\Rightarrow$ $6=16a+4b+c$ $(2)$

2. knickfrei: $f^{\prime }(-2)=g^{\prime }(-2)=1$ $\Rightarrow$ $1=-4a+b$ $(3)$ $f^{\prime }(4)=h^{\prime }(4)=0$ $\Rightarrow$ $0=8a+b$ $(4)$

Somit erhält man vier Gleichungen für $3$ Unbekannte $a,b,c$.

Das Gleichungssystem wird mit dem Gauß- Algorithmus gelöst:

Zur einfacheren Berechnung werden die Spalten getauscht.

Die Reihenfolge der Variablen ist jetzt $c,b,a$.

Man erhält das folgende Gleichungssystem:

$c-2b+4a=-1$

$c+4b+16a=6$

$b-4a=1$

$b+8a=0$

Die erweiterte Koeffizientenmatrix lautet:

$\left(\begin{array}{rrrc}1& -2& 4& -1\\ 1& 4& 16& 6\\ 0& 1& -4& 1\\ 0& 1& 8& 0\end{array}\right)$

Die Koeffizientenmatrix wird durch geeignete Umformungen so bearbeitet, dass unterhalb der Diagonalen nur Nullen stehen.

$\left(\begin{array}{rrrc}1& -2& 4& -1\\ 1& 4& 16& 6\\ 0& 1& -4& 1\\ 0& 1& 8& 0\end{array}\right)\underrightarrow{\mathrm{II}+\mathrm{I}\cdot (-1)}$

$\left(\begin{array}{rrrc}1& -2& 4& -1\\ 0& 6& 12& 7\\ 0& 1& -4& 1\\ 0& 1& 8& 0\end{array}\right)\underrightarrow{\mathrm{III}\cdot (-6)+\mathrm{II}}$

$\left(\begin{array}{rrrc}1& -2& 4& -1\\ 0& 6& 12& 7\\ 0& 0& 36& 1\\ 0& 1& 8& 0\end{array}\right)\underrightarrow{\mathrm{IV}\cdot (-6)+\mathrm{II}}$

$\left(\begin{array}{rrrc}1& -2& 4& -1\\ 0& 6& 12& 7\\ 0& 0& 36& 1\\ 0& 0& -36& 7\end{array}\right)\underrightarrow{\mathrm{IV}+\mathrm{III}}$

$\left(\begin{array}{rrrc}1& -2& 4& -1\\ 0& 6& 12& 7\\ 0& 0& 36& 1\\ 0& 0& 0& 8\end{array}\right)$

Aus Gleichung $\mathrm{IV}$ folgt : $0\cdot a=8$

Das ist ein Widerspruch und das Gleichungssystem ist nicht lösbar.

Lösung Teilaufgabe b1)

Allgemeiner Ansatz für eine Funktion $3$. Grades: $k(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

Die erste Ableitung von $k(x)$ lautet: $k^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$

Die zweite Ableitung von $k(x)$ lautet: $k^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$

Für einen Wendepunkt muss die 2. Ableitung gleich Null sein: 

 $0=6ax+2b\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{2b}{6a}}=-{\displaystyle \frac{b}{3a}}$

Somit gibt es nur eine Wendestelle, d.h. es kann nur an einem Punkt ein krümmungsruckfreier Übergang stattfinden und nicht an zwei Punkten.

Der Mitarbeiter der Projektleitung hat Recht.

Lösung Teilaufgabe b2)

Die angegebene Funktion $k(x)$ lautet:

$k(x)=-{\displaystyle \frac{1}{27}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{36}}{x}^2+{\displaystyle \frac{14}{9}}x+{\displaystyle \frac{46}{27}}$

$k^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{9}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{18}}x+{\displaystyle \frac{14}{9}}$

$k^{\prime \prime }(x)=-{\displaystyle \frac{2}{9}}x+{\displaystyle \frac{1}{18}}$

Für den Punkt $A(-2-1)$ gilt: $k^{\prime \prime }(-2)={\displaystyle \frac{4}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{18}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ und $g^{\prime \prime }(-2)=0$

d.h. $k^{\prime \prime }(-2)\ne g^{\prime \prime }(-2)$.

Für den Punkt $B(4|6)$ gilt: $k^{\prime \prime }(4)=-{\displaystyle \frac{8}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{18}}=-{\displaystyle \frac{15}{18}}$ und $h^{\prime \prime }(4)=0$

d.h. $k^{\prime \prime }(4)\ne h^{\prime \prime }(4)$.

Somit gibt es an beiden Punkten einen Krümmungsruck.

Lösung Teilaufgabe c1)

Die Abbildung $2$ zeigt, dass die Funktion $5$. Grades im Punkt $B(4|6)$ einen Sattelpunkt hat, d.h. die zweite Ableitung der Funktion $m(x)$ ist hier gleich Null.

Da auch  $h^{\prime \prime }(4)=0$ ist, gilt: $m^{\prime \prime }(4)=h^{\prime \prime }(4)=0$.

Somit besteht im Punkt $B$ Krümmungsruckfreiheit.

Lösung Teilaufgabe c2)

Die angegebene Funktion $m(x)$ lautet:

$m(x)={\displaystyle \frac{1}{324}}{x}^5-{\displaystyle \frac{17}{1296}}{x}^4-{\displaystyle \frac{23}{324}}{x}^3+{\displaystyle \frac{11}{81}}{x}^2+{\displaystyle \frac{140}{81}}x+{\displaystyle \frac{134}{81}}$

$m^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{5}{324}}{x}^4-{\displaystyle \frac{17}{324}}{x}^3-{\displaystyle \frac{23}{108}}{x}^2+{\displaystyle \frac{22}{81}}x+{\displaystyle \frac{140}{81}}$

$m^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{20}{324}}{x}^3-{\displaystyle \frac{51}{324}}{x}^2-{\displaystyle \frac{23}{54}}x+{\displaystyle \frac{22}{81}}={\displaystyle \frac{5}{81}}{x}^3-{\displaystyle \frac{17}{108}}{x}^2-{\displaystyle \frac{23}{54}}x+{\displaystyle \frac{22}{81}}$

Für den Punkt $A(-2|-1)$ gilt:

$m^{\prime \prime }(-2)={\displaystyle \frac{5}{81}}(-2{)}^3-{\displaystyle \frac{17}{108}}(-2{)}^2-{\displaystyle \frac{23}{54}}(-2)+{\displaystyle \frac{22}{81}}=0$

$g^{\prime \prime }(-2)=0$ d.h. $m^{\prime \prime }(-2)=g^{\prime \prime }(-2)$

Im Punkt $A$ besteht ebenfalls Krümmungsruckfreiheit.