Gegeben sind die Funktion $h(x)=2x-7$ und der Punkt $A(1\vert2)$.

Ansatz für die lineare Funktion $g(x)$: $g(x)=mx+n.$

(Anmerkung: Das absolute Glied heißt hier $n$ um Verwechslungen mit der quadratischen Funktion zu vermeiden.)

Quadratischer Ansatz für die Funktion $f(x)$: $f(x)=ax²+bx+c$.

Die erste Ableitung von $f(x)$ lautet: $f'(x)=2ax+b$.

Die erste Ableitung von $g(x)$ lautet: $g'(x)=m$.

Die erste Ableitung von $h(x)$ lautet: $h'(x)=2$.

1. versatzfrei: $f(1)=g(1)= 2$ $\Rightarrow$ $2=a+b+c$ $(1)$ $f(6)=h(6)=5$ $\Rightarrow$ $5=36a+6b+c$ $(2)$

2. knickfrei: $f'(1)=g'(1)= m$ $\Rightarrow$ $m=2a+b$ $(3)$ $f'(6)=h'(6)=2$ $\Rightarrow$ $2=12a+b$ $(4)$

Somit erhält man vier Gleichungen für $4$ Unbekannte $a,b,c,m$.

Das GLS kann z.B. mit einem Taschenrechner, der Gleichungssysteme mit $4$

Unbekannten verarbeiten kann, gelöst werden, z.B. der Casio fx-991DE X.

Hier wird das Additionsverfahren verwendet.

Gleichung $(4)$$\cdot(-5)$ $\Rightarrow$ $-10=-60a-5b$

$(2)-(1)\Rightarrow$ $3=35a+5b$

Addiert man beide Gleichungen erhält man: $-7=-25a$ $\Rightarrow$ $a=\dfrac{7}{25}$

Setzt man $a$ in Gleichung $(4)$ ein $\Rightarrow$ $2=12\cdot\dfrac{7}{25}+b \Rightarrow b=-\dfrac{34}{25}$

Aus Gleichung $(1) \Rightarrow c=2-a-b=2-\dfrac{7}{25}-(-\dfrac{34}{25})=\dfrac{77}{25}$

Aus Gleichung $(3) \Rightarrow m= 2\cdot\dfrac{7}{25}-\dfrac{34}{25}=-\dfrac{20}{25}=-\dfrac{4}{5}$

Mit dem Punkt $A(1\vert2)$ und $g(x)=mx+n$ folgt:

$2=m\cdot1+n \Rightarrow n=2-m=2-(-\dfrac{4}{5})=\dfrac{14}{5}$

Antwort: Die gesuchten Funktionen haben die Gleichungen $g(x) = -\dfrac{4}{5}x+\dfrac{14}{5}$

bzw. $g(x)=-0{,}8x+2{,}8$ und $f(x)=\dfrac{7}{25}x^2-\dfrac{34}{25}x+\dfrac{77}{25}$

Ein „krümmungsruckfreier“ Übergang an einer Stelle $x_0$ bzw. $x_1$ ist möglich, wenn die Bedingungen $f''(x_0)=g''(x_0)$ bzw. $f''(x_1)=h''(x_1)$erfüllt sind.

Im Punkt $A(1\vert2)$ gilt:

$g(x)   = -0{,}8x +2{,}8$

$g'(x)  = - 0{,}8$

$g''(x) = 0 ; g''(1) = 0$

$f(x)=\dfrac{7}{25}x^2-\dfrac{34}{25}x+\dfrac{77}{25}$

$f'(x)=\dfrac{14}{25}x-\dfrac{34}{25}$

$f''(x) = \dfrac{14}{25} ; f''(1) = \dfrac{14}{25}\Rightarrow$   $\dfrac{14}{25}\neq0$    

also findet im Punkt $A$ ein Krümmungsruck statt.

Analog gilt für den Punkt $B(6\vert5)$:

$h(x)=2x-7$

$h'(x)=2$

$h''(x)=0; h''(6)=0$

$f''(6) = \dfrac{14}{25}\Rightarrow$$\dfrac{14}{25}\neq0$

also findet auch im Punkt $B$ ein Krümmungsruck statt.

Gegeben sind die beiden Funktionen $g(x)=-0{,}8x+2{,}8$ und $h(x)=2x-7$

sowie die beiden Punkte $A(1\vert2)$ und $B(6\vert5)$.

$g'(x)  = - 0{,}8$

$g''(x) = 0 ; g''(1) = 0$

$h'(x)=2$

$h''(x)=0; h''(6)=0$

Ansatz für die Funktion $k(x)$: $k(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

Die erste Ableitung von $k(x)$ lautet: $k'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$

Die zweite Ableitung von $k(x)$ lautet: $k''(x)=12ax^2+6bx+2c$

Damit ergeben sich die folgenden Gleichungen:

1. versatzfrei:  $k(1) = g(1) = 2$ $\Rightarrow$   $2= a + b +c +d + e$                   $(1)$                  $k(6) = h(6) =5$  $\Rightarrow$     $5=1296a+216b+36c+6d+e$     $(2)$2.knickfrei:     $k'(1)=g'(1)=-0{,}8$ $\Rightarrow$   $-0{,}8= 4a +3b+2c+d$      $(3)$

  $k'(6)= h'(6) =2$ $\Rightarrow$     $2 = 864a +108b+12c+d$ $(4)$

3.ruckfrei: $k''(1)=g''(1)=0$$$ $\Rightarrow$ $0=12a+6b+2c$ $(5)$

  $k''(6)=h''(6)=0$ $\Rightarrow$ $0=432a+36b+2c$ $(6)$

Somit erhält man sechs Gleichungen für 5 Unbekannte.

Aus diesen 6 Gleichungen wähle ich die Gleichungen $(1),(3),(4),(5)$ und $(6)$ aus.

Zur Vereinfachung der Rechnung werden Zeilen und Spalten vertauscht.

Dadurch ändert sich Reihenfolge der Variablen und man erhält das folgende Gleichungssystem:

$e+d+c+b+a=2$

$d+2c+3b+4a=-0{,}8$

$d+12c+108b+864a=2$

$2c+6b+12a=0$

$2c+36b+432a=0$

Die erweiterte Koeffizientenmatrix lautet:

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrrrr|c}1&1&1&1&1&2\\ 0&1& 2 & 3 & 4 &-0{,}8\\0&1 & 12 & 108& 864 &2\\0& 0 & 2 &6& 12&0\\0& 0 & 2 & 36 & 432&0 \end{array}\right)$

Die Koeffizientenmatrix wird durch geeignete Umformungen so bearbeitet, dass unterhalb der Diagonalen nur Nullen stehen.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrrrr|c}1&1&1&1&1&2\\ 0&1& 2 & 3 & 4 &-0{,}8\\0&1 & 12 & 108& 864 &2\\0& 0 & 2 &6& 12&0\\0& 0 & 2 & 36 & 432&0 \end{array}\right) \underrightarrow{\mathrm{III}-\mathrm{II}}$

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrrrr|c}1&1&1&1&1&2\\ 0&1& 2 & 3 & 4 &-0{,}8\\0&0 & 10 & 105& 860 &2{,}8\\0& 0 & 2 &6& 12&0\\0& 0 & 2 & 36 & 432&0 \end{array}\right)\underrightarrow{\mathrm{IV}\cdot(-5)+\mathrm{III}}$

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrrrr|c}1&1&1&1&1&2\\ 0&1& 2 & 3 & 4 &-0{,}8\\0&0 & 10 & 105& 860 &2{,}8\\0& 0 & 0 &75& 800&2{,}8\\0& 0 & 2 & 36 & 432&0 \end{array}\right)\underrightarrow{\mathrm{V}\cdot(-5)+\mathrm{III}}$

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrrrr|c}1&1&1&1&1&2\\ 0&1& 2 & 3 & 4 &-0{,}8\\0&0 & 10 & 105& 860 &2{,}8\\0& 0 & 0 &75& 800&2{,}8\\0& 0 & 0 & -75 & -1300&2{,}8 \end{array}\right)\underrightarrow{\mathrm{V}+\mathrm{IV}}$

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrrrr|c}1&1&1&1&1&2\\ 0&1& 2 & 3 & 4 &-0{,}8\\0&0 & 10 & 105& 860 &2{,}8\\0& 0 & 0 &75& 800&2{,}8\\0& 0 & 0 & 0 & -500&5{,}6 \end{array}\right)$

Beachte die Reihenfolge der Variablen. An der fünften Stelle steht die Variable $a$ .

Somit folgt aus der letzten Zeile der umgewandelten Koeffizientenmatrix :

$-500a=5{,}6\Rightarrow a=-\dfrac{7}{625}$

Aus Gleichung $IV$ folgt: $75b+800\cdot(-\dfrac{7}{625})=2{,}8\Rightarrow b=\dfrac{98}{625}$

Aus Gleichung $III$ folgt: $10c+105\cdot(\dfrac{98}{625})+860\cdot(-\dfrac{7}{625})=2{,}8\Rightarrow c=-\dfrac{252}{625}$

Aus Gleichung $II$ folgt: $d+2\cdot(-\dfrac{252}{625})+3\cdot(\dfrac{98}{625})+4\cdot(-\dfrac{7}{625})=-0{,}8 \Rightarrow d=-\dfrac{262}{625}$

Aus Gleichung $I$ folgt: $e+(-\dfrac{262}{625})+(-\dfrac{252}{625})+(\dfrac{98}{625})+(-\dfrac{7}{625})=2\Rightarrow$

$e=\dfrac{1673}{625}$

Die berechneten Werte für die Variablen $a,b,c,d$ und $e$ müssen noch in die nicht verwendete Gleichung $(2)$ eingesetzt werden.

$5= 1296\cdot(-\dfrac{7}{625})+216\cdot(\dfrac{98}{625})+36\cdot(-\dfrac{252}{625})+6\cdot(-\dfrac{262}{625})+\dfrac{1673}{625}=\dfrac{3125}{625}=5$

Somit hat man eine wahre Aussage erhalten und das Gleichungssystem ist lösbar.

Anmerkung: Die Gleichungen $(3),(4),(5)$ und $(6)$ können auch mit einem TR gelöst werden. Mit dem Ergebnis kann aus Gleichung $(1)$ $e$ berechnet werden und anschließend überprüft man noch Gleichung $(2)$.

Antwort: Die gesuchte Funktion $k(x)$ lautet:

$k(x)$ =   $(-\dfrac{7}{625})x^4+(\dfrac{98}{625})x^3-(\dfrac{252}{625})x^2-\dfrac{262}{625}x+\dfrac{1673}{625}$

In der Aufgabenstellung nicht gefordert ist eine Zeichnung mit den Funktionen $g(x), h(x)$ und $k(x)$.

So würde das Ergebnis aussehen.



Die Verbindung der Punkte $A$ und $B$ erfolgt nicht nur knickfrei sondern auch ruckfrei. An den Verbindungsstellen $A$ und $B$ befindet sich jeweils ein Wendepunkt der Funktion $k(x)$.