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Trassierung

Zwischen zwei Stadtteilen befindet sich in der Nähe des Punktes A(14)A(1\vert4) ein Aussichtsturm.

Von Stadtteil 1 führt eine Stichstraße 1 bis zu diesem Punkt AA.

Im Stadtteil 2 endet eine Stichstraße 2 im Punkt B(35) B(3\vert5).

Zur Verbindung der beiden Stadtteile soll eine  Straße von AA nach BB gebaut werden.

Die Straße 1 ist für x1x\leq1 gegeben durch:  g(x)=x+3g(x) = x+3.

Die Straße 2 ist für x3x\geq3 gegeben durch:  h(x)=5h(x) = 5.

  1. Gesucht ist eine lineare Funktion f(x)f(x), die den Straßenverlauf zwischen den Punkten AA und BB beschreibt. An den Anschlussstellen soll kein „Versatz“ auftreten. 

  2. Zeichne die Funktionen g(x),h(x)g(x), h(x) und die berechnete Funktion f(x)f(x) in ein Koordinatensystem ein.

  3. Beschreibe den Straßenverlauf an den beiden Übergangsstellen AA und BB.

  4. Gesucht ist nun eine quadratische Funktion k(x)k(x) zur Verbindung der beiden Stichstraßen. Die Anschlussstellen sollen "versatzfrei" sein und keinen „Knick“ aufweisen sein.

  5. Die Straßenbauingenieure sind immer noch nicht zufrieden. Sie stellen an den beiden Anschlussstellen fest, dass sich die Krümmung der Funktion k(x)k(x) an der Stelle x0x_0 von der Krümmung der  Funktion g(x)g(x) unterscheidet bzw. an der Stelle x1x_1 von der Krümmung der Funktion  h(x)h(x) unterscheidet.

    Dadurch kommt es an den Übergangsstellen zu einem sogenannten „Krümmungsruck“.

    Gesucht ist nun eine Funktion 4. Grades m(x)m(x) zur Verbindung der beiden Stichstraßen. Die Anschlussstellen sollen "versatzfrei" sein, keinen „Knick“ aufweisen und "krümmungsruckfrei"sein.

    Hinweis: Ein „krümmungsruckfreier“ Übergang an einer Stelle x0x_0 bzw. x1x_1 ist möglich, wenn die Bedingungen m(x0)=g(x0)m''(x_0)=g''(x_0) bzw. m(x1)=h(x1)m''(x_1)=h''(x_1)

    erfüllt sind.