Gegeben sind die Punkte $A(1|4)$ und $B(3|5)$.

Linearer Ansatz für die Funktion $f(x)$:  $f(x) = mx + b$

Ein versatzfreier Übergang an den Punkten $A$ und $B$ ist gegeben, wenn gilt:

$f(1) = g(1) = 4$    $\Rightarrow$       $4= m\cdot1 + b$ $(1)$

$f(3) = h(3) = 5$  $\Rightarrow$        $5= m\cdot3 + b$ $(2)$

$(2)-(1)\Rightarrow$ $1 = 2\cdot m$ $\Rightarrow$  $m = 0{,}5.$

Setzt man $m= 0{,}5$ in eine der beiden Gleichungen ein, so erhält man $b = 3{,}5.$

Antwort:  Die gesuchte lineare Funktion lautet: $f(x) = 0{,}5x + 3{,}5.$

Graphische Darstellung der drei Funktionen $g(x), f(x), h(x)$.

Antwort:  An den beiden Übergangsstellen $A$ und $B$ gibt es jeweils einen Knick im Straßenverlauf.

Gegeben sind die Funktionen $g(x) = x+3$ und $h(x) = 5$.

Quadratischer Ansatz für die Funktion $k(x)$:  $k(x) = ax² +bx +c$

Die erste Ableitung von $k(x)$ lautet: $k'(x) = 2ax + b$.

Die erste Ableitung von $g(x)$ lautet: $g'(x) = 1$.

Die erste Ableitung von $h(x)$ lautet: $h'(x) = 0$.

1. versatzfrei:  $k(1) = g(1) = 4$      $\Rightarrow$          $4= a + b +c$   $(1)$                        $k(3) = h(3) =5$  $\Rightarrow$         $5 = 9a +3 b +c$ $(2)$

2. knickfrei:     $k'(1) = g'(1) = 1$  $\Rightarrow$         $1= 2a +b$             $(3)$     $k'(3) = h'(3) =0$    $\Rightarrow$          $0 = 6a +b$ $(4)$ Somit erhält man vier Gleichungen für 3 Unbekannte.

$(4)-(3)\Rightarrow$$-1 =4a$ $\Rightarrow$ $a = -\dfrac{1}{4}$

Aus (4) $\Rightarrow$ $b = -6a$; mit $a=-\dfrac{1}{4}$ erhält man $b=\dfrac{3}{2}$

Aus $(1)$ folgt : $c=4-a-b$ $\Rightarrow c = 4-(-\dfrac{1}{4})-\dfrac{3}{2}=\dfrac{11}{4}$

Probe: $a = -\dfrac{1}{4}$ und $b=\dfrac{3}{2}$ in die bisher nicht verwendete Gleichung $(2)$

eingesetzt: $5=9\cdot(-\dfrac{1}{4})+3\cdot(\dfrac{3}{2})+\dfrac{11}{4}=\dfrac{10}{2}= 5$; also eine wahre Aussage.

Das Gleichungssystem ist lösbar.

Antwort: Die gesuchte Funktion lautet : $k(x) = -\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{11}{4}$

In der Scheitelpunktform lautet die gesuchte Funktion: $k(x)=-\dfrac{1}{4}(x-3)^2+5$

In der Aufgabenstellung nicht gefordert ist eine Zeichnung mit den Funktionen $g(x), h(x)$ und $k(x)$. So würde das Ergebnis aussehen.

Die Anschlussstellen haben keinen Knick mehr.

Gegeben sind die Funktionen $g(x) = x+3$ und $h(x) = 5$.

Ansatz für eine Funktion 4. Grades $m(x)$:  $m(x) = ax^4 +bx^3 +cx^2+dx+e$

Die erste Ableitung von $m(x)$ lautet: $m'(x) = 4ax^3 + 3bx^2+2cx+d$.

Die zweite Ableitung von $m(x)$ lautet: $m''(x)=12ax^2+6bx+2c$

Die erste Ableitung von $g(x)$ lautet: $g'(x) = 1$

Die zweite Ableitung von $g(x)$ lautet: $g''(x)=0$

Die erste Ableitung von $h(x)$ lautet: $h'(x) = 0$

Die zweite Ableitung von $h(x)$ lautet: $h''(x)=0$

1. versatzfrei:  $m(1) = g(1) = 4$  $\Rightarrow$     $4= a + b +c+d+e$   $(1)$                       $m(3)=h(3)=5$ $\Rightarrow$    $5=81a+27b+9c+3d+e$ $(2)$

2. knickfrei:     $m'(1)=g'(1)=1$ $\Rightarrow$     $1= 4a +3b+2c+d$      $(3)$       $m'(3)= h'(3) =0$ $\Rightarrow$     $0 = 108a +27b+6c+d$ $(4)$

3. ruckfrei: $m''(1)=g''(1)=0$$$ $\Rightarrow$ $0=12a+6b+2c$ $(5)$  $m''(3)=h''(3)=0$ $\Rightarrow$ $0=108a+18b+2c$ $(6)$

Somit erhält man sechs Gleichungen für 5 Unbekannte.

$(4)-(3)\Rightarrow -1=104a+24b+4c$

$(5)$ $0=12a+6b+2c$

$(6)$ $0=108a+18b+2c$

Es ergibt sich ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten, das mit dem TR oder dem Gauß-Algorithmus gelöst werden kann.

Man erhält $a=\dfrac{1}{16}, b=-\dfrac{1}{2}, c=\dfrac{9}{8}$

Aus Gleichung $(3)$ folgt: $d=1-4a-3b-2c=1-\dfrac{4}{16}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{18}{8}=0$

Aus Gleichung $(1)$ folgt: $e=4-a-b-c-d=4-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{9}{8}-0=\dfrac{53}{16}$

Zur Probe muss noch die nicht verwendete Gleichung $(2)$ überprüft werden.

$5=81\cdot(\dfrac{1}{16})+27\cdot(-\dfrac{1}{2})+9\cdot(\dfrac{9}{8})+3\cdot0+\dfrac{53}{16}=\dfrac{20}{4}=5$

Man erhält eine wahre Aussage. Das Gleichungssystem ist also lösbar.

Antwort: Die gesuchte Funktion lautet: $m(x)=\dfrac{1}{16}x^4-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{9}{8}x^2+\dfrac{53}{16}$

In der Aufgabenstellung nicht gefordert ist eine Zeichnung mit den Funktionen

$g(x), h(x)$ und $m(x).$ So würde das Ergebnis aussehen.

Die Verbindung der Punkte $A$ und $B$ erfolgt nicht nur knickfrei sondern auch krümmungsruckfrei.