In dieser Aufgabe setzt du dich mit dem statistischen Hypothesentest und den dabei auftretenden Fehlern 1. und 2. Art auseinander.

Teilaufgabe 1

Stelle die Testparameter auf. Lies dazu zuerst die nötigen Werte aus dem Text.

Du verwendest den Binomialtest mit $n = 200$ und $p = 0{,}3$. Die Wahl von $p$ wird klarer, wenn du die Null-Hypothese formuliert hast.

Null-Hypothese $H_0$:

Die Null-Hypothese ist die Aussage, die widerlegt werden soll.

$H_0$ ist also: Der Gewinn hat Wahrscheinlichkeit $30\,\%$. $\Rightarrow p = 0{,}3$

Gegenhypothese $H_1$:

Die Gegenhypothese ist die Aussage, die gezeigt werden soll.

$H_1$ ist also: Der Gewinn hat nicht Wahrscheinlichkeit 30 %. $\Rightarrow p\ne 0{,}3$

Es handelt sich um einen zweiseitigen Test. Fehler 1. Art:

Das ist die Wahrscheinlichkeit für unerwartet viele bzw. wenige Gewinne, obwohl die Gewinnchance unverändert $30\,\%$ ist.

Stelle die Formel auf und setze sie kleiner dem Signifikanzniveau von $10\,\%$.

In einem zweiseitigen Test teilt sich die Formel auf:

i) $P^{200}_{0{,}3}(X\le k_1)\le \frac{\alpha}{2}=0{,}05$

ii) $P^{200}_{0{,}3}(X \ge k_2)\le \frac{\alpha}{2}=0{,}05$

$\Leftrightarrow 1 - P^{200}_{0{,}3}(X< k_2)\le 0{,}05$$\Leftrightarrow 1-0{,}05 \le P^{200}_{0{,}3}(X< k_2)$$\Leftrightarrow 0{,}95 \le P^{200}_{0{,}3}(X \le k_2-1)$

Suche im Tafelwerk jeweils die kleinsten $k_1, k_2$, die diese Bedingungen noch erfüllen.

$\Rightarrow k_1=48,k_2-1=71 \Rightarrow k_2=72$

Die Entscheidungsregel besteht also aus: Annahmebereich $A=\{49,…,71\}$ und

Ablehnungsbereich $\bar A=\{0{,}1,…,48{,}72{,}73,…,200\}$.

Bestimme den Fehler 1. Art mit den exakten Werten.

$P^{200}_{0{,}3}(X\le 48)+P^{200}_{0{,}3}(X\ge 72)$

$=0{,}03595+(1-P^{200}_{0{,}3}(X< 72))$

$=0{,}03595+1-P^{200}_{0{,}3}(X\le 71)$

$=1{,}03595-0{,}96037=0{,}07558\approx 7{,}6\,\%$

Der Fehler 1. Art tritt mit Wahrscheinlichkeit $7{,}6\,\%$ ein.

Teilaufgabe 2

Durch die Angabe einer zweiten Wahrscheinlichkeit handelt es sich nun um einen Alternativtest. Hier berechnet sich der Fehler 2. Art genau wie der 1. Art, bloß für die andere Hypothese.

Bestimme also die Wahrscheinlichkeit, dass für $X\in A$ genau $X$ viele Gewinne verteilt werden, obwohl sich die Trefferwahrscheinlichkeit auf $0{,}2$ reduziert hat.

$P_{0{,}2}^{200}(X\in A)=P_{0{,}2}^{200}(X\le71)-P_{0{,}2}^{200}(X\le48)$

Da $X$ zwischen $49$ und $71$ liegen muss.

Lies die Werte aus dem Tafelwerk ab.

$P_{0{,}2}^{200}(X\in A)=1-0{,}93097=0{,}06903\approx 7\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, liegt also bei $7\,\%$.