Aufgaben zu Volumen und Oberflächenberechnung

Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge $a$ als Grundfläche. Die Höhe der Pyramide ist $2 a$ .

Berechne die Länge der Seitenkanten $k$ in Vielfachen von $a$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Teilaufgabe 1
Diagonale $d$ des Quadrats mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$d$ $=$ $\sqrt{2 a^{2}}$
$d$ $=$ $\sqrt{2} a$
Seitenkante $k$ mit Pythagoras berechnen:
${(2 a)}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2} a)}^{2}$ $=$ $k^{2}$
$k$ $=$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2} a$
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Berechne den Oberflächeninhalt $O$ der Pyramide in Vielfachen von $a^{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Teilaufgabe 2
Höhe $h_{△}$ im Dreieck mit Satz des Pythagoras berechnen:
$k^{2}$ $=$ $h_{Δ}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$ $- {(\frac{a}{2})}^{2}$
$h_{Δ}$ $=$ $\sqrt{k^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}$
$h_{Δ}$ $=$ $\frac{\sqrt{17}}{2} a$
Fläche des Dreiecks berechnen:
$A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{Δ}$
$=$ $\frac{\sqrt{17}}{4} a^{2}$
Oberfläche der Pyramide berechnen:
$O$ $=$ $a^{2} + 4 \cdot A_{Δ}$
$=$ $a^{2} + \sqrt{17} a^{2}$
$=$ $(1 + \sqrt{17}) a^{2}$
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Bestimme $a$ auf Millimeter genau, wenn der Oberflächeninhalt genau $400 {cm}^{2}$ betragen soll.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Teilaufgabe 3
$S$ $=$ $400 {cm}^{2}$
↓
Oberfläche gleichsetzen.
$(1 + \sqrt{17}) a^{2}$ $=$ $400 {cm}^{2}$ $: (1 + \sqrt{17})$
↓
Gleichung umformen.
$a^{2}$ $=$ $\frac{400 {cm}^{2}}{(1 + \sqrt{17})}$
↓
Gleichung umformen.
$a$ $=$ $\frac{\sqrt{400 {cm}^{2}}}{\sqrt{1 + \sqrt{17}}}$
$a$ $=$ $8,8 cm$
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CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch → Was bedeutet das?

${(2 a)}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2} a)}^{2}$	$=$	$k^{2}$
$k$	$=$	$\frac{3 \sqrt{2}}{2} a$

$k^{2}$	$=$	$h_{Δ}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$	$- {(\frac{a}{2})}^{2}$
$h_{Δ}$	$=$	$\sqrt{k^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}$
$h_{Δ}$	$=$	$\frac{\sqrt{17}}{2} a$

$A_{Δ}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{Δ}$
	$=$	$\frac{\sqrt{17}}{4} a^{2}$

$O$	$=$	$a^{2} + 4 \cdot A_{Δ}$
	$=$	$a^{2} + \sqrt{17} a^{2}$
	$=$	$(1 + \sqrt{17}) a^{2}$

$S$	$=$	$400 {cm}^{2}$
	↓	Oberfläche gleichsetzen.
$(1 + \sqrt{17}) a^{2}$	$=$	$400 {cm}^{2}$	$: (1 + \sqrt{17})$
	↓	Gleichung umformen.
$a^{2}$	$=$	$\frac{400 {cm}^{2}}{(1 + \sqrt{17})}$
	↓	Gleichung umformen.
$a$	$=$	$\frac{\sqrt{400 {cm}^{2}}}{\sqrt{1 + \sqrt{17}}}$
$a$	$=$	$8,8 cm$

$d$	$=$	$\sqrt{2 a^{2}}$
$d$	$=$	$\sqrt{2} a$

Teilaufgabe 1

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Teilaufgabe 2

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Teilaufgabe 3

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