Manchmal findest du in einem Term oder einer Gleichung neben der Variable (meistens x) und dem Funktionswert (meistens y) noch weitere Buchstaben, sogenannte Parameter. Sollen Lösungen in Abhängigkeit von diesem Parameter bestimmt werden, musst du manchmal eine Fallunterscheidung durchführen.
In diesem Artikel lernst du, wann eine Fallunterscheidung nötig ist und wie du bei dieser vorgehen musst.
Ausgangssituation
Meistens hast du eine Gleichung gegeben, in der ein Parameter vorkommt. Diese löst du, wie gewohnt, nach der Variablen auf. Anstelle einer Zahl hast du am Ende allerdings einen Term, in dem der Parameter vorkommt:
Diese Aussage ist unabhängig vom eingesetzten x-Wert immer wahr.
Für die anderen Lösungen löst du wie gewohnt auf:
0
=
kx−2k
+2k
2k
=
kx
:k
2
=
x
Diese Lösung ist sogar unabhängig vom Parameter k!
Die Fallunterscheidung lautet:
Fall k=0: einzige Lösung x=2
Fall k=0: unendlich viele Lösungen, alle x∈R sind gültige Lösung, da immer 0=0 herauskommt.
Kombinationen aus den vorgestellten Szenarien
Natürlich können die Fälle kombiniert werden. Du kannst einen Bruch unter einer Wurzel haben oder eine Logarithmus im Bruch,...
Gehe schrittweise vor und beachte alle Spezialfälle!
Parameter in Gleichungen mit anderen Lösungsmethoden
Wie zu Beginn erwähnt, muss die Gleichung nicht durch Umformungen lösbar sein. Auch in diesem Fall löst du die Gleichung zunächst mit der vorgesehenen Lösungsmethode und untersuchst dann danach, ob eine Fallunterscheidung nötig ist.
Für k∈R hast du deine Gleichung auf die Form 0=kx2+4x+4k gebracht.
Du setzt a=k,b=4,c=4k in die Mitternachtsformel ein:
x1/2
=
2a−b±b2−4ac
x1/2
=
2k−4±42−4⋅k⋅4k
↓
Fasse unter der Wurzel zusammen
x1/2
=
2k−4±16−16k2
↓
Klammere 16 aus
x1/2
=
2k−4±16(1−k2)
↓
Radiziere teilweise
x1/2
=
2k−4±41−k2
x1/2
=
k−2±21−k2
Sowohl unter der Wurzel als auch im Nenner kommt der Parameter k vor.
Der Nenner verrät dir, dass k=0 zu keiner Lösung führt.
Die Diskriminante D=1−k2 gibt für die anderen Fälle die Zahl der Nullstellen an.
Fall k=0:Keine Lösung (da nicht durch 0 dividiert werden darf)
Fall −1<k<1, k=0: Da D>0 gibt es hier zwei Lösungen x1/2=k−2±21−k2
Fall k=1: Da D=0 gibt es eine Lösung x=−2
Fall k=−1: Da D=0 gibt es eine Lösung x=2
Fall sonst (k<−1 oder k>1): keine Lösung, da D<0
Den ersten und den letzten Fall kannst du auch zusammenfassen, da die Begründungen aber unterschiedlich sind, wurden sie in diesem Beispiel getrennt voneinander aufgelistet.
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