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Wurzelgleichungen

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable (meistens als xx bezeichnet) mindestens einmal unter einer Quadratwurzel steht.

Eine Wurzelgleichung ist z.B. die Gleichung 3x+15=0\sqrt{3x+1}-5=0

Wurzelgleichungen mit höheren Wurzelexponenten als 22 werden in diesem Artikel nicht behandelt.

VorsichtKeine Wurzelgleichung

Die Gleichung 5x+3=0\sqrt{5}\cdot x+3=0 ist keine Wurzelgleichung, da das xx nicht unter der Wurzel steht.

In einer Wurzelgleichung können Wurzeln auch mehrfach vorkommen, z.B.

  • Wurzelgleichungen mit zwei Wurzeln, z.B. x+5+1=2x+3 \sqrt{x+5}+1=\sqrt{2x+3}

  • Wurzelgleichungen mit drei Wurzeln, z.B. 2(x1)+x=3x2\sqrt{2\cdot(x-1)}+\sqrt{x}=\sqrt{3x-2}

Wie werden Wurzelgleichungen gelöst?

Dazu sind folgende Schritte erforderlich:

1. Definitionsbereich für die Wurzel bzw. Wurzeln bestimmen

2. Auflösung der Wurzelgleichung

3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen

Vorgehensweise

Die Vorgehensweise wird anhand einer Wurzelgleichung, in der nur eine Wurzel vorkommt, erläutert. Die Wurzelgleichung 3x+15=0\sqrt{3x+1}-5=0 soll gelöst werden.

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Zur Bestimmung des Definitionsbereichs für die Wurzel finde heraus, wann der Radikand größer oder gleich null ist.

Im Fall der Wurzelgleichung 3x+15=0\sqrt{3x+1}-5=0 ist die Wurzel für x13x\geq-\frac{1}{3} definiert.

Damit ist auch der Definitionsbereich für die Wurzelgleichung festgelegt:

    D={xR  x13}\;\Rightarrow\;\mathbb D=\Big\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-\frac{1}{3}\Big\}.

MerkeMehrere Wurzeln in der Wurzelgleichung

Gegeben ist folgende Wurzelgleichung x+5+1=2x+3\sqrt{x+5}+1=\sqrt{2x+3}. Sie enthält zwei verschiedene Wurzeln.

Für die erste Wurzel x+5\sqrt{x+5} wird der Definitionsbereich bestimmt, ebenso für die zweite Wurzel 2x+3\sqrt{2x+3}. Der Bereich, indem sich beide Definitionsbereiche überschneiden, ist der Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.

Entsprechendes gilt für Wurzelgleichungen, in denen drei Wurzeln vorkommen.

2. Auflösung der Wurzelgleichung

  • Ist in der Wurzelgleichung nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden.

  • Die Wurzel kannst du durch Quadrieren auflösen.

  • Löse die erhaltene Gleichung nach xx auf.

Für die Wurzelgleichung 3x+15=0\sqrt{3x+1}-5=0 sind demnach die folgenden Schritte notwendig:

Durch Umformung der Wurzelgleichung erhältst du die Gleichung 3x+1=5\sqrt{3x+1}=5.

Quadriere beide Seiten der Wurzelgleichung    3x+1=25\;\Rightarrow\;3x+1=25.

Du hast die Gleichung 3x+1=25 3x+1=25 erhalten.

Löse die Gleichung nach xx auf.     x=8\;\Rightarrow\;x=8.

BeachteMehrere Wurzeln in der Wurzelgleichung

Enthält die Wurzelgleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist gegebenenfalls mehrfaches Quadrieren notwendig.

3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen

  • Du hast eine oder mehrere mögliche Lösungen für die Wurzelgleichung erhalten. Nun musst du prüfen, ob die Lösungen im Definitionsbereich D\mathbb D der Wurzelgleichung liegen.

  • Für alle Lösungen der Wurzelgleichung, die im Definitionsbereich der Wurzelgleichung liegen, muss noch eine Probe durchgeführt werden. Das heißt, die gefundenen Lösungen werden in die Wurzelgleichung eingesetzt und es wird geprüft, ob sich eine wahre oder falsche Aussage ergibt. Die Lösungen, die zu einer wahren Aussage führen, sind Lösungen der Wurzelgleichung und werden als Lösungsmenge der Wurzelgleichung angegeben. Für die Wurzelgleichung 3x+15=0\sqrt{3x+1}-5=0 hast du die Lösung x=8x=8 erhalten. Prüfe, ob die Lösung im Definitionsbereich D={xR  x13}\mathbb D=\Big\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-\frac{1}{3}\Big\} der Wurzelgleichung liegt. Das ist hier der Fall, da 8138 \geq -\frac{1}{3} ist. Setze jetzt x=8x=8 in die Wurzelgleichung ein. Du erhältst eine wahre Aussage, d.h. x=8x=8 erfüllt die gegebene Wurzelgleichung. Gib die Lösungsmenge der Wurzelgleichung an: L={8}\displaystyle\mathbb L=\{8\}

VorsichtUnbedingt Probe durchführen

Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.

Beispiel:

Aus der falschen Aussage 3=33=-3 wird durch Quadrieren eine wahre Aussage 9=99=9

Durch das Quadrieren können bei den Wurzelgleichungen zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren.

Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich. Die gefundenen Lösungen müssen in die Wurzelgleichung eingesetzt werden. Erhält man dann eine wahre Aussage, gehört die gefundene Lösung zur Lösungsmenge.

Nachfolgend wird die Vorgehensweise bei der Lösung von Wurzelgleichungen, in denen zwei bzw. drei Wurzeln vorkommen, erläutert.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Wurzelgleichungen


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