Aufgaben zur Umkehrfunktion

Wie gut kennst du dich aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen gemischten Übungsaufgaben zur Umkehrfunktion.

Bilde die Umkehrfunktion $f^{-1}\left(x\right)$ und gib falls nötig einen neuen Definitionsbereich an.

$f\left(x\right)=x+4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Definitionsmenge und Wertebereich
Die Definitionsmenge $D_f=\mathbb{R}$ der Funktion $f$ wird zum Wertebereich $W_{f^{-1}}$ der Umkehrfunktion $f^{-1}$ .
Der Wertebereich $W_f=\mathbb{R}$ der Funktion $f$ wird zur Defininitionsmenge $D_{f^{-1}}$ der Umkehrfunktion $f^{-1}$ .
Umkehrfunktion
$f\left(x\right)=x+4$
$\Rightarrow y=x+4$
Vertausche die Variablen $x$ und $y$ .
$x=y+4$
Löse nach $y$ auf.
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle y+4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ $\displaystyle -4$
$\displaystyle x-4$ $=$ $\displaystyle y$
$\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)=x-4$
Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.
$\Rightarrow D_{f^{^-1}}=\mathbb{R}$ und $W_{f^{-1}}=\mathbb{R}$
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$f(x)=x^3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Definitionsmenge und Wertebereich
Die Definitionsmenge $D_f=\mathbb{R}$ der Funktion $f$ wird zum Wertebereich $W_{f^{-1}}$ der Umkehrfunktion $f^{-1}$ .
Der Wertebereich $W_f=\mathbb{R}$ der Funktion $f$ wird zur Defininitionsmenge $D_{f^{-1}}$ der Umkehrfunktion $f^{-1}$ .
Umkehrfunktion
$f(x)=x^3$
$\Rightarrow y=x^3$
Vertausche die Variablen $x$ und $y$ .
$x=y^3$
Löse nach $y$ auf.
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle y^3$ $\displaystyle \sqrt[3]{}$
$\displaystyle \sqrt[3]{x}$ $=$ $\displaystyle y$
$\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$
Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.
$\Rightarrow D_{f^{-1}}=\mathbb{R}$ und $W_{f^{-1}}=\mathbb{R}$
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$f(x)=x^2-1$

$f(x)=2\cdot\sqrt{x}$

$f(x)=2\cdot x^2-3\cdot x+1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion

Definitionsmenge und Wertebereich

Da die Funktion $f(x)=2x^2-3x+1$ eine Parabel ist und somit Werte aus ihrem Wertebereich mehrmals "trifft" muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, um eine Umkehrfunktion zu finden.

Durch Überlegung

Man muss die Symmetrieachse der Parabel bestimmen. Da der Scheitelpunkt auf der Symmetrieachse liegt bestimmt man diesen.

$f(x)=2x^2-3x+1\\=2\left(x^2-\frac32x\right)+1\\=2\left(x^2-\frac32x+\left(\frac34\right)^2-\left(\frac34\right)^2\right)+1\\=2\left(\left(x-\frac34\right)^2-\frac9{16}\right)+1\\=2\left(x-\frac34\right)^2-\frac98+1\\=2\left(x-\frac34\right)^2-\frac18$

$\Rightarrow$ Der Scheitelpunkt ist $S(\frac34\mid-\frac18)$ .

Also ist $f(x)$ symmetrisch zu $x=\frac34$ und man muss $D_f=[\frac34;+\infty[$ wählen.

Durch Rechnung

Man errechnet, wie unten gezeigt, die Umkehrfunktion und betrachtet die Wertemenge der Umkehrfunktion um die Einschränkung des Definitionsbereichs von $f(x)$ anzugeben.

Die Definitionsmenge $D_f=[\frac{3}{4};+\infty[$ der Funktion $f$ wird zum Wertebereich $W_{f^{-1}}$ der Umkehrfunktion $f^{-1}$ .

Der Wertebereich $W_f=[-\frac18;+\infty[$ der Funktion $f$ wird zur Defininitionsmenge $D_{f^{-1}}$ der Umkehrfunktion $f^{-1}$ .

Umkehrfunktion

$f(x)=2x^2-3x+1$

Ersetze $f(x)$ durch $y$ und verwende quadratische Ergänzung:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} y&= 2x^2-3x+1\\ &=2\left(x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right)\\ &=2\left(x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}-\frac{1}{16}\right)\\ &=2\left(\left(x-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\right)\\ &=2\left(x-\frac34\right)^2-\frac18 \end{aligned}$

Vertausche die Variablen $x$ und $y$ .

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2(y-\frac{3}{4})^2-\frac{1}{8}$	$\displaystyle +\frac{1}{8}$
$\displaystyle x+\frac{1}{8}$	$=$	$\displaystyle 2(y-\frac{3}{4})^2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{8}\right)$	$=$	$\displaystyle (y-\frac{3}{4})^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{8}\right)}$	$=$	$\displaystyle y-\frac{3}{4}$	$\displaystyle +\frac{3}{4}$
$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{8}\right)}+\frac{3}{4}$	$=$	$\displaystyle y$

Da die Umkehrfunktion im Wertebereich $W_{f^{-1}}=D_f=[\frac{3}{4};+\infty[$ liegen soll, wähle die positive Lösung der Wurzel.

$\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{2}(x+\frac{1}{8})}+\frac{3}{4}$

Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.

$\Rightarrow D_{f^{^-1}}=[-\frac18;+\infty[$ und $W_{f^{^-1}}=[\frac34;+\infty[$

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2
Bilde die Umkehrfunktion zu $f(x)=x^3-1$ graphisch.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Graph der Umkehrfunktion
Zeichne die Funktion $f(x)$ in ein Koordinatensystem: Verschiebung von $x^3$ um -1 in y-Richtung
Zeichne die Winkehalbierende des ersten und dritten Quadranten.
Spiegele die Funktion $f(x)$ an der Winkelhalbierenden.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle y+4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle x-4$	$=$	$\displaystyle y$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle y^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
$\displaystyle \sqrt[3]{x}$	$=$	$\displaystyle y$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle y^2-1$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle y^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle \pm\ \sqrt{x+1}\$	$=$	$\displaystyle y$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2\sqrt{y}$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle \ \sqrt{y}$	$\displaystyle \uparrow 2$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}x\right)^2$	$=$	$\displaystyle y$
$\displaystyle \frac{1}{4}x^2$	$=$	$\displaystyle y$