Aufgaben zur Umkehrfunktion

Wie gut kennst du dich aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen gemischten Übungsaufgaben zur Umkehrfunktion.

1
Bilde die Umkehrfunktion $f^{- 1} (x)$ und gib falls nötig einen neuen Definitionsbereich an.
1. $f (x) = x + 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
  Definitionsmenge und Wertebereich
  Die Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ der Funktion $f$ wird zum Wertebereich $W_{f^{- 1}}$ der Umkehrfunktion $f^{- 1}$ .
  Der Wertebereich $W_{f} = ℝ$ der Funktion $f$ wird zur Defininitionsmenge $D_{f^{- 1}}$ der Umkehrfunktion $f^{- 1}$ .
  Umkehrfunktion
  $f (x) = x + 4$
  $\Rightarrow y = x + 4$
  Vertausche die Variablen $x$ und $y$ .
  $x = y + 4$
  Löse nach $y$ auf.
  $x$ $=$ $y + 4$ $- 4$
  $x - 4$ $=$ $y$
  $\Rightarrow f^{- 1} (x) = x - 4$
  Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.
  $\Rightarrow D_{f^{^{-} 1}} = ℝ$ und $W_{f^{- 1}} = ℝ$
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2. $f (x) = x^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
  Definitionsmenge und Wertebereich
  Die Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ der Funktion $f$ wird zum Wertebereich $W_{f^{- 1}}$ der Umkehrfunktion $f^{- 1}$ .
  Der Wertebereich $W_{f} = ℝ$ der Funktion $f$ wird zur Defininitionsmenge $D_{f^{- 1}}$ der Umkehrfunktion $f^{- 1}$ .
  Umkehrfunktion
  $f (x) = x^{3}$
  $\Rightarrow y = x^{3}$
  Vertausche die Variablen $x$ und $y$ .
  $x = y^{3}$
  Löse nach $y$ auf.
  $x$ $=$ $y^{3}$ $\sqrt[3]{}$
  $\sqrt[3]{x}$ $=$ $y$
  $\Rightarrow f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$
  Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.
  $\Rightarrow D_{f^{- 1}} = ℝ$ und $W_{f^{- 1}} = ℝ$
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3. $f (x) = x^{2} - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
  Definitionsmenge und Wertebereich
  Da die Funktion $f (x) = x^{2} - 1$ eine um 1 nach unten geschobene Parabel ist und somit Werte aus ihrem Wertebereich mehrmals "trifft" muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, um eine Umkehrfunktion zu finden.
  Durch Überlegung
  Da $f (x) = x^{2} - 1$ symmetrisch zu $x = 0$ ist sieht man, dass man $D_{f} = [0; + \infty [$ wählen muss.
  Durch Rechnung
  Man errechnet, wie unten gezeigt, die Umkehrfunktion und betrachtet die Wertemenge der Umkehrfunktion um die Einschränkung des Definitionsbereichs von $f (x)$ anzugeben.
  Die Definitionsmenge $D_{f} = [0; + \infty [$ der Funktion $f$ wird zum Wertebereich $W_{f^{- 1}}$ der Umkehrfunktion $f^{- 1}$ .
  Der Wertebereich $W_{f} = [- 1; + \infty [$ der Funktion $f$ wird zur Defininitionsmenge $D_{f^{- 1}}$ der Umkehrfunktion $f^{- 1}$ .
  Umkehrfunktion
  $f (x) = x^{2} - 1$
  $\Rightarrow y = x^{2} - 1$
  Vertausche die Variablen $x$ und $y$ .
  $x = y^{2} - 1$
  Löse nach $y$ auf.
  $x$ $=$ $y^{2} - 1$ $+ 1$
  $x + 1$ $=$ $y^{2}$ $\sqrt{}$
  $\pm \sqrt{x + 1}$ $=$ $y$
  Da die Umkehrfunktion im Wertebereich $W_{f^{- 1}} = D_{f} = [0; + \infty [$ liegen soll, wähle die positive Lösung der Gleichung.
  $\Rightarrow f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}$
  Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.
  $\Rightarrow D_{f^{- 1}} = [- 1; + \infty [$ und $W_{f^{- 1}} = [0; + \infty [$
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4. $f (x) = 2 \cdot \sqrt{x}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
  Definitionsmenge und Wertebereich
  Die Definitionsmenge $D_{f} = [0; + \infty [$ der Funktion $f$ wird zum Wertebereich $W_{f^{^{-} 1}}$ der Umkehrfunktion $f^{^{-} 1}$ .
  Der Wertebereich $W_{f} = [0; + \infty [$ der Funktion $f$ wird zur Defininitionsmenge $D_{f^{- 1}}$ der Umkehrfunktion $f^{- 1}$ .
  Umkehrfunktion
  $f (x) = 2 \sqrt{x}$
  $\Rightarrow y = 2 \sqrt{x}$
  Vertausche die Variablen $x$ und $y$ .
  $x = 2 \sqrt{y}$
  Löse nach $y$ auf.
  $x$ $=$ $2 \sqrt{y}$ $: 2$
  $\frac{1}{2} x$ $=$ $\sqrt{y}$ $↑ 2$
  ${(\frac{1}{2} x)}^{2}$ $=$ $y$
  $\frac{1}{4} x^{2}$ $=$ $y$
  $f^{- 1} (x) = \frac{1}{4} x^{2}$
  $\Rightarrow D_{f^{- 1}} = [0; + \infty [$ und $W_{f^{- 1}} = [0; + \infty [$
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5. $f (x) = 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
  Definitionsmenge und Wertebereich
  Da die Funktion $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ eine Parabel ist und somit Werte aus ihrem Wertebereich mehrmals "trifft" muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, um eine Umkehrfunktion zu finden.
  Durch Überlegung
  Man muss die Symmetrieachse der Parabel bestimmen. Da der Scheitelpunkt auf der Symmetrieachse liegt bestimmt man diesen.
  $\begin{array}{l} f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1 \\ = 2 (x^{2} - \frac{3}{2} x) + 1 \\ = 2 (x^{2} - \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{4})}^{2} - {(\frac{3}{4})}^{2}) + 1 \\ = 2 ({(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{16}) + 1 \\ = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} + 1 \\ = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8} \end{array}$
  $\Rightarrow$ Der Scheitelpunkt ist $S (\frac{3}{4} | - \frac{1}{8})$ .
  Also ist $f (x)$ symmetrisch zu $x = \frac{3}{4}$ und man muss $D_{f} = [\frac{3}{4}; + \infty [$ wählen.
  Durch Rechnung
  Man errechnet, wie unten gezeigt, die Umkehrfunktion und betrachtet die Wertemenge der Umkehrfunktion um die Einschränkung des Definitionsbereichs von $f (x)$ anzugeben.
  Die Definitionsmenge $D_{f} = [\frac{3}{4}; + \infty [$ der Funktion $f$ wird zum Wertebereich $W_{f^{- 1}}$ der Umkehrfunktion $f^{- 1}$ .
  Der Wertebereich $W_{f} = [- \frac{1}{8}; + \infty [$ der Funktion $f$ wird zur Defininitionsmenge $D_{f^{- 1}}$ der Umkehrfunktion $f^{- 1}$ .
  Umkehrfunktion
  $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$
  Ersetze $f (x)$ durch $y$ und verwende quadratische Ergänzung:
  $\begin{aligned} y & = 2 x^{2} - 3 x + 1 \\ = 2 (x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}) \\ = 2 (x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} - \frac{1}{16}) \\ = 2 ({(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{16}) \\ = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8} \end{aligned}$
  Vertausche die Variablen $x$ und $y$ .
  $x$ $=$ $2 (y - \frac{3}{4})^{2} - \frac{1}{8}$ $+ \frac{1}{8}$
  $x + \frac{1}{8}$ $=$ $2 (y - \frac{3}{4})^{2}$ $: 2$
  $\frac{1}{2} (x + \frac{1}{8})$ $=$ $(y - \frac{3}{4})^{2}$ $\sqrt{}$
  $\pm \sqrt{\frac{1}{2} (x + \frac{1}{8})}$ $=$ $y - \frac{3}{4}$ $+ \frac{3}{4}$
  $\pm \sqrt{\frac{1}{2} (x + \frac{1}{8})} + \frac{3}{4}$ $=$ $y$
  Da die Umkehrfunktion im Wertebereich $W_{f^{- 1}} = D_{f} = [\frac{3}{4}; + \infty [$ liegen soll, wähle die positive Lösung der Wurzel.
  $\Rightarrow f^{- 1} (x) = \sqrt{\frac{1}{2} (x + \frac{1}{8})} + \frac{3}{4}$
  Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.
  $\Rightarrow D_{f^{^{-} 1}} = [- \frac{1}{8}; + \infty [$ und $W_{f^{^{-} 1}} = [\frac{3}{4}; + \infty [$
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2
Bilde die Umkehrfunktion zu $f (x) = x^{3} - 1$ graphisch.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Graph der Umkehrfunktion
Zeichne die Funktion $f (x)$ in ein Koordinatensystem: Verschiebung von $x^{3}$ um -1 in y-Richtung
Zeichne die Winkehalbierende des ersten und dritten Quadranten.
Spiegele die Funktion $f (x)$ an der Winkelhalbierenden.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x$	$=$	$y^{2} - 1$	$+ 1$
$x + 1$	$=$	$y^{2}$	$\sqrt{}$
$\pm \sqrt{x + 1}$	$=$	$y$

$x$	$=$	$2 \sqrt{y}$	$: 2$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$\sqrt{y}$	$↑ 2$
${(\frac{1}{2} x)}^{2}$	$=$	$y$
$\frac{1}{4} x^{2}$	$=$	$y$

$x$	$=$	$2 (y - \frac{3}{4})^{2} - \frac{1}{8}$	$+ \frac{1}{8}$
$x + \frac{1}{8}$	$=$	$2 (y - \frac{3}{4})^{2}$	$: 2$
$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{8})$	$=$	$(y - \frac{3}{4})^{2}$	$\sqrt{}$
$\pm \sqrt{\frac{1}{2} (x + \frac{1}{8})}$	$=$	$y - \frac{3}{4}$	$+ \frac{3}{4}$
$\pm \sqrt{\frac{1}{2} (x + \frac{1}{8})} + \frac{3}{4}$	$=$	$y$

Aufgaben zur Umkehrfunktion

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