Der Punkt $A$ des Würfels hat die Koordinaten $A(4|4|0)$.

Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $B(4|4|4)$ und $C$ hat die Koordinaten $C(0|0|4)$.

Für den Vektor $\overrightarrow{CA}$ gilt:

$\overrightarrow{CA}=\left(\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix}$

Für den Betrag dieses Vektors folgt: $|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{4^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{48}$

Für den Vektor $\overrightarrow{CB}$ gilt:

$\overrightarrow{CB}=\left(\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}$

Für den Betrag dieses Vektors folgt: $|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{4^2+4^2+0^2}=\sqrt{32}$

Den Winkel $\alpha$ berechnest du mit:

Den Winkel $\alpha$ kannst du nun mit der Umkehrfunktion des Kosinus berechnen.

Wähle dazu auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos{}^{-1}$.

Antwort: Der Winkel $\alpha$ zwischen der Flächendiagonalen $\overline{CB}$ und der Raumdiagonalen $\overline{CA}$ beträgt etwa $35{,}26^\circ$.

Du brauchst den Vektor $\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix}$ und seinen Betrag $|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{48}$, ebenso den Vektor $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$ und seinen Betrag $|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{4^2+4^2+4^2}=\sqrt{48}$.

Den Winkel $\beta$ berechnest du mit:

Den Winkel $\beta$ kannst du nun mit der Umkehrfunktion des Kosinus berechnen.

Wähle dazu auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos{}^{-1}$.

Antwort: Der Schnittwinkel $\beta$ der Raumdiagonalen $\overline{CA}$ und $\overline{OB}$ beträgt etwa $70{,}53^\circ$.