weiterführende Aufgaben zum Hypothesentest

1
In einer Urne befinden sich entweder 4 blaue und 6 rote Kugeln oder 6 blaue und 4 rote. Dies soll durch Ziehen von 5 Kugeln ohne Zurücklegen herausgefunden werden.
1. Welches Entscheidungsverfahren ist das vernünftigste?
2. Wie hoch ist die Fehlerwahrscheinlichkeit in diesem Fall?
2
Herr G, Gemeinderat und engagierter Lokalpolitiker, verfolgt mit Besorgnis, dass am anderen Ufer des Sees, an den seine Gemeinde grenzt, eine große Fabrik geplant und gebaut wird. Als seine Proteste gegen das Bauvorhaben erfolglos bleiben, beschließt er, in der kommenden Zeit genau zu beobachten, ob der Betrieb der Fabrik negative Auswirkungen auf die Umwelt hat, und gegebenenfalls Klage einzureichen. Vom örtlichen Anglerverein erfährt er auf Anfrage, dass der Anteil krankhaft veränderter Fische in dem See bislang stets bei rund $2\ \%$ gelegen hat. Er bittet nun den Verein, in der kommenden Saison darauf zu achten, ob sich dieser Anteil erhöht hat. Es wird vereinbart, dass die Angler über die nächsten $100$ gefangenen Fische genaue Notizen machen und Herrn G das Ergebnis mitteilen. Wenn dabei mehr als $4$ krankhaft veränderte Fische sind, will Herr G Klage einreichen.
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht er bei dieser Entscheidungsregel die Klage ein, obwohl sich der Anteil krankhaft veränderter Fische in Wirklichkeit nicht erhöht hat?
2. Angenommen, der Anteil krankhaft veränderter Fische ist seit Inbetriebnahme der Fabrik auf $5\ \%$ angewachsen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt das vom Anglerverein mitgeteilte Ergebnis dennoch so aus, dass Herr G keine Klage einreicht?
3. Angenommen, der Anteil krankhaft veränderter Fische ist seit Inbetriebnahme der Fabrik auf $10\ \%$ angewachsen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht Herr G dennoch keine Klage ein? Was fällt im Vergleich mit dem Ergebnis von Teilaufgabe 2 auf?
4. Wie muss die Entscheidungsregel lauten, wenn G seine Behauptung auf dem Signifikanzniveau von $5\ \%$ belegen will? Stelle dazu den entsprechenden Hypothesentest mit Nullhypothese und Gegenhypothese (=Alternativhypothese) auf.
5. In der Tat finden sich unter den 100 gefangenen Fischen 4 krankhaft veränderte. Während Herr G angesichts des zu wenig deutlichen Ergebnisses trotz seiner nach wie vor bestehenden Zweifel bereits resignieren will, schlägt sein Parteifreund F eine Vergrößerung der Stichprobe vor: Es soll weiter beobachtet werden, bis insgesamt 200 Fische gefangen seien. Wie muss nun die Entscheidungsregel lauten, wenn das Signifikanzniveau weiterhin 5% sein soll? Kann die Vermutung von Herr G, der Anteil krankhaft veränderter Fische habe sich auf über 2% erhöht, auf dem Signifikanzniveau von 5% angenommen werden, wenn sich unter den 200 Fischen insgesamt 8 finden, die krankhaft verändert sind?
3
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Im vergangenen Jahr wechselten $75\ \%$ aller Grundschüler eines Schulbezirkes nach der 4. Klasse zur Realschule. Das Schulamt vermutet, dass der Anteil der Schüler, die zur Realschule wechseln auch in diesem Jahr unverändert bleibt. Diese Annahme soll durch eine Befragung von 100 Eltern überprüft werden.
1. Wie lautet die Entscheidungsregel für $\mathrm\alpha\leq5\%$ ? Berechne und beschreibe den Fehler 1.Art.
2. Beschreibe und berechne den Fehler 2.Art, wenn dem Zufallsversuch tatsächlich eine Erfolgswahrscheinlichkeit von $\mathrm p=0{,}7$ zugrunde liegt.
4
Lehrer Maier glaubt, dass das Thema Hypothesentest sehr schwierig ist und noch nicht von allen verstanden worden ist. Insgesamt sind in seiner Klasse 50 Schüler. Den Anteil der Schüler, die das Thema noch nicht durchstiegen haben, schätzt er auf über 40%. Deshalb will er in der nächsten Stunde einen kurzen Test schreiben. Erreicht dabei ein Schüler mehr als die Hälfte der Punkte, so glaubt Lehrer Maier, dass der Schüler den Hypothesentest verstanden hat.
a) Gib die Nullhypothese von Lehrer Maier an, sowie die Entscheidungsregel für den Fehler 1. Art bei einem Signifikanzniveau von 10%.
b) Gib desweiteren die Entscheidungsregel für einen Fehler 2. Art für eine Klasse mit 50 Schülern an, ebenfalls bei einem Signifikanzniveau von 10%.
c) Im Test fallen 22 Schüler durch. Ist eine konsistente Aussage aus den Ergebnissen aus a) und b) ableitbar? Warum könnte Lehrer Maier seine Ausgangsvermutung bestätigt sehen? Die Klasse hingegen fand, dass das Thema Hypothesentest höchstens von einem Viertel nicht verstanden wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wären nach der Klasse mindestens 22 Schüler durchgefallen?
d) Mit dem Ergebnis aus c) gehen die Schüler zu Lehrer Maier und beschweren sich über den Test. Hältst du die Beschwerde aus Sicht der Klasse für berechtigt?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?