Hier werden die Zusammenhänge von Linearkombinationen , (linearen) Gleichungssysteme und Matrizen gezeigt.
Das Ziel ist es, zu verstehen, wieso ein lineares Gleichungssystem (siehe Bild) geschrieben werden kann als Matrix.
Lineares Gleichungssystem Wenn hier den Begriff Gleichungssystem oder auch einfach nur System verwendet wird, ist immer ein lineares Gleichungssystem gemeint.
Linearkombinationen und Gleichungssysteme Wir beginnen mit einem Gleichungssystem:
2 x + 3 y = 8 − x + y = 1 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrc}
2x&+&3y&=8\\
-x&+&y&=1
\end{array} 2 x − x + + 3 y y = 8 = 1
Die Frage ist: welche beiden Zahlen x x x y y y
Das kannst du mit einem der bekannten Verfahren wie Additionsverfahren oder Gaußverfahren berechnen. Die Lösung ist übrigens x = 1 \color{green}x=1 x = 1 und y = 2 \color{green} y=2 y = 2
Als nächstes schreiben wir das Systems in Vektoren um und wenden die Rechenregeln an:
( 2 x + 3 y − x + y ) = ( 8 1 ) ⟺ ( 2 x − x ) + ( 3 y y ) = ( 8 1 ) ⟺ x ( 2 − 1 ) + y ( 3 1 ) = ( 8 1 ) \begin{pmatrix} 2x+3y\\-x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\1 \end{pmatrix} \iff
\begin{pmatrix} 2x\\-x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3y\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\1 \end{pmatrix}\iff
x\begin{pmatrix} 2\\-1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\1 \end{pmatrix} ( 2 x + 3 y − x + y ) = ( 8 1 ) ⟺ ( 2 x − x ) + ( 3 y y ) = ( 8 1 ) ⟺ x ( 2 − 1 ) + y ( 3 1 ) = ( 8 1 )
Jetzt ist die Frage: Welche Koeffizienten x x x y y y ( 8 1 ) \begin{pmatrix}8\\1 \end{pmatrix} ( 8 1 ) Linearkombination von ( 2 − 1 ) \begin{pmatrix}2\\-1 \end{pmatrix} ( 2 − 1 ) ( 3 1 ) \begin{pmatrix}3\\1 \end{pmatrix} ( 3 1 )
Das Gleichungssystem a 11 x + a 12 y + a 13 z = b 1 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b 2 a 31 x + a 32 y + a 33 z = b 3 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc}
a_{11}\, x +a_{12}\,y+a_{13}\,z&=&b_1\\
a_{21}\, x +a_{22}\,y+a_{23}\,z&=&b_2\\
a_{31}\, x +a_{32}\,y+a_{33}\,z&=&b_3
\end{array} a 11 x + a 12 y + a 13 z a 21 x + a 22 y + a 23 z a 31 x + a 32 y + a 33 z = = = b 1 b 2 b 3
"Welche Koeffizienten x x x y y y z z z Linearkombination
x ⋅ ( a 11 a 21 a 31 ) + y ⋅ ( a 12 a 22 a 32 ) + z ⋅ ( a 13 a 23 a 33 ) x\cdot\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{pmatrix} +
y\cdot\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{pmatrix} +
z\cdot\begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{pmatrix} x ⋅ a 11 a 21 a 31 + y ⋅ a 12 a 22 a 32 + z ⋅ a 13 a 23 a 33 ( b 1 b 2 b 3 ) \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} b 1 b 2 b 3
haben die selben Lösungen. Es sind verschiedene Schreibweisen desselben Sachverhalts.
▸ Weitere Beispiele zu diesem Abschnitt
Linearkombinationen und Matrizen Sicher hast du schon gesehen, wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert:
Ist A = ( a b c d ) A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d \end{pmatrix} A = ( a c b d ) v ⃗ = ( r s ) \vec{v}=\begin{pmatrix}r\\s \end{pmatrix} v = ( r s ) A ⋅ v ⃗ = ( a ⋅ r + b ⋅ s c ⋅ r + d ⋅ s ) A\cdot \vec{v}=\begin{pmatrix}a\cdot r+b\cdot s \\c\cdot r+d\cdot s\end{pmatrix} A ⋅ v = ( a ⋅ r + b ⋅ s c ⋅ r + d ⋅ s )
Das ist vollkommen richtig und hilfreich beim konkreten Berechnen, aber für das Verstehen formt man das noch mal um:
A ⋅ v ⃗ = ( a ⋅ r + b ⋅ s c ⋅ r + d ⋅ s ) = r ⋅ ( a c ) + s ⋅ ( b d ) ⏟ Linearkombination der Spalten der Matrix A\cdot \vec{v}=\begin{pmatrix}a\cdot r+b\cdot s \\c\cdot r+d\cdot s\end{pmatrix}=\underbrace{r\cdot\begin{pmatrix}a\\c \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}b\\d \end{pmatrix}}_{\text{Linearkombination der Spalten der Matrix}} A ⋅ v = ( a ⋅ r + b ⋅ s c ⋅ r + d ⋅ s ) = Linearkombination der Spalten der Matrix r ⋅ ( a c ) + s ⋅ ( b d )
Unser Beispiel lässt sich deshalb so umformen:
x ( 2 − 1 ) + y ( 3 1 ) = ( 8 1 ) ⟺ ( 2 3 − 1 1 ) ⋅ ( x y ) = ( 8 1 ) \displaystyle x\begin{pmatrix} 2\\-1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\1 \end{pmatrix}\iff \begin{pmatrix} ~~2 ~~~~~ 3\\-1~~~~1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\1 \end{pmatrix} x ( 2 − 1 ) + y ( 3 1 ) = ( 8 1 ) ⟺ ( 2 3 − 1 1 ) ⋅ ( x y ) = ( 8 1 )
Produkt von Matrix und Vektor Ist A = ( ∣ ∣ ∣ a ⃗ 1 a ⃗ 2 a ⃗ 3 ∣ ∣ ∣ ) A=\begin{pmatrix}|&|&|\\\vec{a}_1&\vec{a}_2&\vec{a}_3\\|&|& |\end{pmatrix} A = ∣ a 1 ∣ ∣ a 2 ∣ ∣ a 3 ∣ v ⃗ = ( v 1 v 2 v 3 ) \vec{v}= \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} v = v 1 v 2 v 3 A ⋅ v ⃗ A\cdot\vec{v} A ⋅ v Linearkombination der Spalten von A A A v ⃗ : \vec{v}: v :
A ⋅ v ⃗ = v 1 a ⃗ 1 + v 2 a ⃗ 2 + v 3 a ⃗ 3 \displaystyle A\cdot\vec{v}=v_1\,\vec{a}_1+v_2\,\vec{a}_2+v_3\,\vec{a}_3 A ⋅ v = v 1 a 1 + v 2 a 2 + v 3 a 3 Dabei siehst du noch einmal zwei Dinge:
Es ist sinnvoll, die Matrix A A A
Ein Produkt A ⋅ v ⃗ A\cdot\vec{v} A ⋅ v A A A v ⃗ \vec{v} v
Die Frage: welche Linearkombination der Vektoren a ⃗ 1 \vec{a}_1 a 1 a ⃗ 2 \vec{a}_2 a 2 b ⃗ \vec{b} b
Wie muss ich v 1 v_1 v 1 v 2 v_2 v 2 v 1 a ⃗ 1 + v 2 a ⃗ 2 = b ⃗ v_1\,\vec{a}_1+v_2\,\vec{a}_2=\vec{b} v 1 a 1 + v 2 a 2 = b
kann auch so formuliert werden:
Welcher Vektor v ⃗ = ( v 1 v 2 ) \vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \end{pmatrix} v = ( v 1 v 2 ) A ⋅ v ⃗ = b ⃗ A\cdot\vec{v}=\vec{b} A ⋅ v = b A A A a ⃗ 1 \vec{a}_1 a 1 a ⃗ 2 \vec{a}_2 a 2
▸ Weitere Beispiele zu diesem Abschnitt
Gleichungssysteme und Matrizen Jetzt kannst du die Abschnitte über Gleichungssysteme, Linearkombinationen und Matrizen einfach zusammenfassen:
Das Gleichungssystem ganz am Anfang
2 x + 3 y = 8 − x + y = 1 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrc}
2x&+&3y&=8\\
-x&+&y&=1
\end{array} 2 x − x + + 3 y y = 8 = 1 schreibt sich jetzt als erweiterte Matrix
( 2 3 8 − 1 1 1 ) \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc|c}
2&3&8\\
-1&1&1
\end{array}\right) ( 2 − 1 3 1 8 1 ) und der Vektor v ⃗ = ( x y ) \vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} v = ( x y )
Allgemein Das Gleichungssystem
a 11 x + a 12 y + a 13 z = b 1 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b 2 a 31 x + a 32 y + a 33 z = b 3 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc}
a_{11}\, x +a_{12}\,y+a_{13}\,z&=&b_1\\
a_{21}\, x +a_{22}\,y+a_{23}\,z&=&b_2\\
a_{31}\, x +a_{32}\,y+a_{33}\,z&=&b_3
\end{array} a 11 x + a 12 y + a 13 z a 21 x + a 22 y + a 23 z a 31 x + a 32 y + a 33 z = = = b 1 b 2 b 3 ist äquivalent zu diesem Problem mit den Matrizen :
Ist A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} A = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 b ⃗ = ( b 1 b 2 b 3 ) \vec{b}=\begin{pmatrix} b_1 \\b_2\\b_3\end{pmatrix} b = b 1 b 2 b 3 u ⃗ = ( x y z ) \vec{u}=\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} u = x y z
A ⋅ u ⃗ = b ⃗ \displaystyle A\cdot\vec{u}=\vec{b} A ⋅ u = b In Worten: Mit welchem Vektor u ⃗ \vec{u} u A A A b ⃗ \vec{b} b
Umgekehrt kann die Lösung u ⃗ \vec{u} u A ⋅ u ⃗ = b ⃗ A\cdot\vec{u}=\vec{b} A ⋅ u = b
Das führt zu folgender Schreibweise
Erweiterte Matrix Das Gleichungssystem in der Box oben schreibst du in der Form
( a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 ) \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccc|c}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_3
\end{array}\right) a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 b 1 b 2 b 3
▸ Warum das gut ist und ein weiteres Beispiel
