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Art der Extremstelle über die 2. Ableitung

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Setze die Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung ein, um die Art des Extrempunktes zu bestimmen, also ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.

Aber Achtung: Hat die 2. Ableitung an dieser Stelle ebenfalls eine Nullstelle, kannst du durch diese Methode weder nachweisen, ob es sich um eine Extremstelle handelt, noch, welche Art diese hat!

Du hast bereits die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt und so Kandidaten für die Extremstellen eines Graphen ermittelt?

Setze diese in die 2. Ableitung ein.

MerkeHochpunkt

Der Graph hat einen Hochpunkt bei xEx_E, wenn gilt:

f(xE)=0f'\left(x_E\right)=0 (xEx_E ist Nullstelle der Ableitung)

f(xE)<0f''\left(x_E\right)<0 (Graph ist rechtsgekrümmt)

MerkeTiefpunkt

Der Graph hat einen Tiefpunkt bei xEx_E, wenn gilt:

f(xE)=0f'\left(x_E\right)=0 (xEx_E ist Nullstelle der Ableitung)

f(xE)>0f''\left(x_E\right)>0 (Graph ist linksgekrümmt)

Vorsicht

Gilt f(xE)=0f''\left(x_E\right)=0, so kann mit dieser Methode keine Entscheidung getroffen werden.

Erklärung am Beispiel

Gesucht werden die Extremstellen der Funktion f(x)=23x3+x224xf\left(x\right)=\frac{2}{3}x^3+x^2-24x.

Die 1. Ableitung lautet: f(x)=2x2+2x24f'\left(x\right)=2x^2+2x-24

Die Gleichung

0\displaystyle 0==2x2+2x24\displaystyle 2x^2+2x-24:2\displaystyle :2
0\displaystyle 0==x2+x12\displaystyle x^2+x-12

wird durch die Stellen x1=4x_1=-4 und x2=3x_2=3 gelöst, was durch die Mitternachtsformel, pq-Formel oder den Satz von Vieta bestimmt werden kann. Das sind also mögliche Kandidaten für Extremstellen.

Bestimmen der Art der Extremstelle

Die 2. Ableitung der Funktion ff lautet: f(x)=4x+2f''\left(x\right)=4x+2

Die erste Stelle eingesetzt ergibt:

Hier liegt ein Hochpunkt vor.

Die zweite Stelle eingesetzt ergibt:

Damit liegt ein Tiefpunkt vor.

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