Der Querschnitt eines Abflusskanals ist begrenzt durch ein Rechteck und einen Halbkreis mit Radius r. Alle Angaben sind in Meter. Auf Einheiten wird in der Rechnung verzichtet.
Zeigen Sie, dass sich die Maßzahl A(x) der Querschnittsfläche des Kanals in Abhängigkeit von x durch A(x)=(2+0,5π)x2−2πx+2π darstellen lässt. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Flächeninhalt in Abhängigkeit von x und r
Die Fläche besteht aus einem Rechteck und einem Halbkreis:
AGesamt=ARechteck+AHalbkreis
ARechteck=x⋅2x=2x2
AHalbkreis=21r2π
Insgesamt entsteht daraus die Hauptbedingung:
A(x,r)=2x2+21r2π
Nebenbedingung: Rechteckslänge
Die Länge der Strecke [BE] kann auf zwei Arten ausgedrückt werden: 2x oder 2+2r+2, also
2x
=
2+2r+2
2x
=
4+2r
−4
2x−4
=
2r
:2
x−2
=
r
Hauptbedingung in Abhängigkeit von x
Setze die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein, um die Variable r loszuwerden
Stelle zuerst den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x und r dar. Dafür brauchst du die Flächenformeln vom Rechteck und vom Kreis. Das ist die Hauptbedingung.
Für die Nebenbedingung verwendest du, dass das Rechteck eine Länge von 2x hat und dass diese auch mithilfe der Werte 2 und dem Radius ausgedrückt werden kann.
Forme die Nebenbedingung um und setze sie in die Hauptbedingung ein.
Die Strecken [AB], [BC], [DE] und [EF] besitzen in der Summe höchstens eine Länge von 12 m.
Weisen Sie nach, dass dann für die sinnvolle maximale Definitionsmenge DA der Funktion A:x↦A(x) gilt: DA=]2;4] . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Obere Grenze
Es gilt AB+BC+DE+EF≤12, wobei die Strecken [AB] und [EF] gleich lang sind und BC=DE=2.
12
≤
2⋅AB+2+2
−4
8
≤
2⋅AB
:2
4
≤
AB
Untere Grenze
Die Streckenlänge x muss gleichzeitig größer sein als 2, denn: An der Unterseite des Kanals sind die zwei fixen Strecken [BC] und [DE], die neben dem Radius auf die Länge von 2x einzahlen. Der Radius kann nicht 0 sein, da der Halbkreis sonst nicht vorhanden ist, allerdings gibt es sonst keine Forderung an eine Mindestgröße.
Bestimmen Sie x so, dass die zugehörige Querschnittsfläche maximalen Inhalt annimmt. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Ableiten und Nullstellen bestimmen
Die Extremstellen sind die Nullstellen der Ableitung. Bilde also die Ableitung
A(x)=(2+0,5π)x2−2πx+2π
A′(x)=2(2+0,5π)x−2π=(4+π)x−2π
Setze mit 0 gleich und löse die Gleichung:
0
=
(4+π)x−2π
+2π
2π
=
(4+π)x
:(4+π)
x
≈
0,88
Art der Extremstelle
Da es sich beim Graphen von A um eine nach oben geöffnete Parabel handelt (Öffnungsfaktor (2+0,5π)>0), ist die Extremstelle ein Tiefpunkt und somit nicht die gesuchte Lösung
Randextrema
Setze den eingeschlossenen Rand x=4 direkt in den Funktionsterm ein, beim linken Rand musst du den Grenzwert betrachten, da dieser nicht eingeschlossen ist:
A(4)≈38,28
x→2limA(x)=8.
Absolutes Extremum
Der maximale Flächeninhalt liegt für eine Rohrhöhe von 4 Metern bei 38,28m2 Querschnittsfläche.
Gesucht ist das Maximum der Funktion. Da es sich um eine Parabel handelt, kannst du auf zwei Arten vorgehen:
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel
Bestimme die Extremstelle
Hier wird die Extremstelle bestimmt, da dieser Lösungsweg universeller anwendbar ist
Nun sei x=4. Der Kanal ist bis 1 m unter der Oberkante gefüllt. Berechnen Sie, wie viel Prozent der Querschnittsfläche des Kanals ausgelastet sind. (3 BE)
Den gesamten Flächeninhalt des Querschnitts könnte man entweder durch die zusammengesetzte Figur (Rechteck und Halbkreis) oder durch die Funktion A(x) bestimmen.
Im letzten Aufgabenteil wurde die Fläche für den Fall x=4 sogar schon bestimmt:
A(4)≈38,28
Flächeninhalt durch den Wasserpegel
Der einfachste Weg, die Fläche des Querschnitts unter dem Wasserpegel (AWasser) zu berechnen, ist dieser:
ALuft ist hierbei die Fläche, die oben noch nicht vom Wasser ausgefüllt ist und beträgt:
Damit ist AWasser≈30,28
Prozentwert
Bilde den Anteil, den der Flächeninhalt durch das Wasser am gesamten Querschnitt hat:
Berechne den Flächeninhalt, den der Querschnitt für x=4 insgesamt besitzt. Ermittle zudem, welche Fläche durch den Wasserpegel abgedeckt wird und bilde das Verhältnis aus diesen beiden Werten. Eine Skizze kann für den Teil mit dem Wasserpegel hilfreich sein.
