Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B 1

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S(3|5)$ hat eine Gleichung der Form

$y=-0{,}5x^2+bx+c$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ und $b, c$ $\in\mathbb{R}$ .

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y=-0{,}25x-3$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}.$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=-0{,}5x^2+3x+0{,}5$ hat. Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $x\in[-2;8]$ in ein Koordinatensystem ein. (3 P)

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$ ; $-2\le x\le 10$ ; $-8\le y\le 6$

Punkte $B_n(x|-0{,}25x-3)$ auf der Geraden $g$ und Punkte $D_n(x|-0{,}5x^2+3x+0{,}5)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit Punkten $A_n$ und $C_n$ Eckpunkte von Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$ mit den Symmetrieachsen $A_nC_n$ und den Diagonalenschnittpunkten $M_n$ .
Es gilt: $\overline{M_nA_n}=2\;\text{LE}$ ; $\overline {M_nC_n}=4\;\text{LE}$ ; $y_{D_n}\gt y_{B_n}$ .
Zeichnen Sie das Drachenviereck $A_1B_1C_1D_1$ für $x=0$ und das Drachenviereck $A_2B_2C_2D_2$ für $x=6$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)

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Begründen Sie, weshalb der Flächeninhalt der Dreiecke $A_nB_nD_n$ stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke $B_nC_nD_n$ ist. (1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Die Dreiecke $A_nB_nD_n$ und $B_nC_nD_n$ stimmen jeweils in der Seite $[B_nD_n]$ überein, während die zugehörigen Höhen der Dreiecke $A_nB_nD_n$ halb so lang wie bei den Dreiecken $B_nC_nD_n$ sind. Daher ist der Flächeninhalt der Dreiecke $A_nB_nD_n$ stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke $B_nC_nD_n$ .
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Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von $x$ es Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$ gibt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Schnittpunkte der Parabel und der Geraden
Setze die Funktionsgleichungen für die Parabel $p$ und die Gerade $g$ gleich:
$−0{,}5x^2+3x+0{,}5=-0{,}25x-3\hspace{30mm}\text{x}\in{\mathbb{R}}$
$−0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5=0$
Löse die quadratische Gleichung z. B. mit der Mitternachtsformel.
$\ x_{1/2}=\dfrac{-3{,}25\pm{\sqrt{10{,}5625+7}}}{-1}\ \Rightarrow\mathrm{x_{1/2}=\dfrac{-3{,}25\pm4{,}19}{-1}}$
$\ \mathrm{x_{1}=\dfrac{-3{,}25+4{,}19}{-1}}\Rightarrow \boxed{\text{x}_{1}=-0{,}94}$
$\ \mathrm{x_{2}=\dfrac{-3{,}25-4{,}19}{-1}}\Rightarrow \boxed{\text{x}_{2}=7{,}44}$
$\ \mathbb{L}=\{-0{,}94;\ 7{,}44\}$
Für $\text{x}\in\ ]-0{,}94;\ 7{,}44[$ gibt es Drachenvierecke $\ \mathrm{A_nB_nC_nD_n}.$
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Bestimme die Schnittpunkte der Parabel $\text{p}$ mit der Geraden $\text{g}$ .
Setze dazu $\mathrm{p=g}$ und berechne $\text{x}.$
Unter den Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$ hat das Drachenviereck $A_0B_0C_0D_0$ den maximalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie diesen Flächeninhalt und den zugehörigen Wert für $x$ . (4 P)
$[$ Zwischenergebnis: $\overline{B_nD_n}(x)=(-0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5)\;\text{LE}]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Flächeninhalt des Drachenvierecks
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Drachenvierecks lautet:
$\boxed{\mathrm{\ A=\dfrac{e\cdot f}{2}}}$
$\ \text{e}=\mathrm{\overline{B_nD_n}};\ \ \text{f}=\mathrm{\overline{A_nC_n}}$
$\mathrm{\overline{A_nC_n}=(2+4)LE=6\ LE}$
$\ \mathrm{\overline{B_nD_n}(x)=\left[-0{,}5x^2+3x+0{,}5-(-0{,}25x-3) \;\right]LE}\hspace{10mm}\mathrm{x\in\mathbb{R};\ x\in\ ]-0{,}94;\ 7{,}44[}$
$\\ \mathrm{\overline{B_nD_n}(x)=\left(-0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5 \right)LE}$
$\ \mathrm{A(x)=\dfrac{6\cdot(-0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5)}{2}}\ \text{FE}\hspace{32mm}\mathrm{x\in\mathbb{R};\ x\in\ ]-0{,}94;\ 7{,}44[}$
$\ \mathrm{A(x)=(-1{,}5x^2+9{,}75x+10{,}5)\ FE}$
Scheitelpunkt bestimmen
Ermittle den Scheitel der Parabel z. B. mit der Formel:
$\ \mathrm{x_s=-\dfrac{b}{2\cdot a}\hspace{35mm}\ \ y_s=C-\dfrac{b^2}{4\cdot a}}$
$\ \mathrm{x_s=-\dfrac{9{,}75}{-3}=3{,}25\hspace{26mm}y_s=10{,}5-\dfrac{95{,}06}{-6}=26{,}34}$
Der maximale Flächeninhalt des Drachenviereck:
$\ \boxed{\mathrm{A_{max}=26{,}34\ FE}}\$
Der zugehörige Wert für:
$\ \boxed{\mathrm{x=3{,}25}}$
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Stelle die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks auf.
Du erhältst eine quadratische Funktion $A(x)$ , die den Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Wert $x$ angibt.
Bestimme den Scheitelpunkt, um den maximalen Flächeninhalt $A$ und den zugehörigen Wert $x$ zu bestimmen.

Unter den Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$ gibt es zwei Drachenvierecke $A_3B_3C_3D_3$ und $A_4B_4C_4D_4$ , die bei $C_3$ bzw. $C_4$ rechtwinklig sind.

Begründen Sie, warum $\overline{B_3D_3}=\overline{B_4D_4}=8\;\text{LE}$ gilt.

Berechnen Sie sodann die $x$ -Koordinaten von $B_3$ und $B_4.$ (3 P)

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}5(x-3)^2+5$
	↓	berechne das Quadrat
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}5(x^2-6x+9)+5$
	↓	löse die Klammer auf
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}5x^2+3x-4{,}5+5$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}5x^2+3x+0{,}5$

$\displaystyle \mathrm{-0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5}$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle \mathrm{-0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5-8}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \mathrm{-0{,}5x^2+3{,}25x-4{,}5}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :(-0{,}5)$
	↓	dividiere
$\displaystyle \mathrm{x^2-6{,}5x+9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	zerlege in Linearfaktoren
$\displaystyle \mathrm{(x-2)\cdot(x-4{,}5)}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	addiere
$\displaystyle \mathrm{x-2}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle \mathrm{x_{1}}$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle \mathrm{x-4{,}5}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4{,}5$
	↓	addiere
$\displaystyle \mathrm{x_{2}}$	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

Aufgabe B 1

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Schnittpunkte der Parabel und der Geraden

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Flächeninhalt des Drachenvierecks

Scheitelpunkt bestimmen

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