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Aufgabe B 1

Die Parabel pp mit dem Scheitelpunkt S(35)S(3|5) hat eine Gleichung der Form

y=0,5x2+bx+cy=-0{,}5x^2+bx+c mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R} und b,cb, c R\in\mathbb{R}.

Die Gerade gg hat die Gleichung y=0,25x3y=-0{,}25x-3 mit G=R×R.\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Parabel pp die Gleichung y=0,5x2+3x+0,5y=-0{,}5x^2+3x+0{,}5 hat. Zeichnen Sie sodann die Parabel pp und die Gerade gg für x[2;8]x\in[-2;8] in ein Koordinatensystem ein. (3 P)

    Für die Zeichnung: Längeneinheit 1  cm1\;\text{cm}; 2x10-2\le x\le 10; 8y6-8\le y\le 6

  2. Punkte Bn(x0,25x3)B_n(x|-0{,}25x-3) auf der Geraden gg und Punkte Dn(x0,5x2+3x+0,5)D_n(x|-0{,}5x^2+3x+0{,}5) auf der Parabel pp haben dieselbe Abszisse xx. Sie sind zusammen mit Punkten AnA_n und CnC_n Eckpunkte von Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n mit den Symmetrieachsen AnCnA_nC_n und den Diagonalenschnittpunkten MnM_n.

    Es gilt: MnAn=2  LE\overline{M_nA_n}=2\;\text{LE}; MnCn=4  LE\overline {M_nC_n}=4\;\text{LE} ; yDn>yBny_{D_n}\gt y_{B_n}.

    Zeichnen Sie das Drachenviereck A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=0x=0 und das Drachenviereck A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=6x=6 in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)

  3. Begründen Sie, weshalb der Flächeninhalt der Dreiecke AnBnDnA_nB_nD_n stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke BnCnDnB_nC_nD_n ist. (1 P)

  4. Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von xx es Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt. (3 P)

  5. Unter den Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n hat das Drachenviereck A0B0C0D0A_0B_0C_0D_0 den maximalen Flächeninhalt.

    Berechnen Sie diesen Flächeninhalt und den zugehörigen Wert für xx. (4 P)

    [[Zwischenergebnis: BnDn(x)=(0,5x2+3,25x+3,5)  LE]\overline{B_nD_n}(x)=(-0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5)\;\text{LE}]

  6. Unter den Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es zwei Drachenvierecke A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 und A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4, die bei C3C_3 bzw. C4C_4 rechtwinklig sind.

    Begründen Sie, warum B3D3=B4D4=8  LE\overline{B_3D_3}=\overline{B_4D_4}=8\;\text{LE} gilt.

    Berechnen Sie sodann die xx-Koordinaten von B3B_3 und B4.B_4. (3 P)