Teil 2, Analysis I - lernen mit Serlo!

Ein Tipi Zelt in einem Skigebiet hat die Form eines geraden Kreiskegels, dessen Mantellinie die Länge $s=8m$ hat (siehe Zeichnung). Das Zelt besitzt ein Innenvolumen, das bei gleichbleibender Länge der Mantellinie von der Höhe h des Zeltes abhängt. Der jeweilige Funktionswert der Funktion $V:h\mapsto V(h)$ beschreibt dieses Innenraumvolumen.

Aus optischen Gründen soll dabei die Höhe h des Tipi Zeltes mindestens 4m und maximal 6m betragen. Dabei steht h für die Höhe des Zelts in m und V(h) für das Volumen des Zelts in $m^3$ .

Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf.
(Mögliches Teilergebnis: $V(h)=-\frac 1 3\pi h^3+\frac{64}3 \pi h$ ) (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Für das Volumen eines Kegels gilt für Radius r und Höhe h
$V=\frac 13 r^2\pi h$ (Hauptbedingung)
Da diese Buchstaben direkt denen aus der Skizze entsprechen, ist hier nichts weiter zu tun.
Für das rechtwinklige Dreieck aus h, r und s=8 gilt der Satz des Pythagoras:
$r^2+h^2=8^2$ (Nebenbedingung)
Forme diese Gleichung nach $r^2$ um, damit du in der Hauptbedingung $r^2$ durch einen Term in Abhängigkeit von $h$ ersetzen kannst.
$r^2=64-h^2$
Setze in die Hauptbedingung ein:
$V=\frac 1 3 (64-h^2)\pi h$
Um das Zwischenergebnis zu erhalten, musst du noch ausmultiplizieren:
$V(h)=\frac{64}3\pi h-\frac 1 3\pi h^3$
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Gib als Hauptbedingung einen Term zur Berechnung des Kegelvolumens in Abhängigkeit von r und h an.
Als Nebenbedingung kannst du verwenden, dass r, h und s ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse $s=8$ bilden, wodurch der Satz des Pythagoras verwendet werden kann.
Da die Hauptbedingung am Ende in Abhängigkeit von h angegeben werden soll, kannst du die Nebenbedingung nach r auflösen. Noch besser: Löse sie nur nach $r^2$ auf und ersetze direkt $r^2$ in der Hauptbedingung.

Bestimmen Sie unter den oben genannten Vorgaben, für welche Höhe h das Tipi Zelt den maximalen Rauminhalt aufweist. Berechnen Sie für diesen Fall den Durchmesser des Bodens des Tipi Zeltes. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. (8 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Definitionsmenge

Aus dem Text weißt du, dass die Höhe mindestens 4m und maximal 6m betragen soll. Es gilt also für die Definitionsmenge:

$D_h=[4;6]$

Kandidaten für Extremstellen

An den Extremstellen hat die Steigung des Graphen von V den Wert 0. Du suchst also die Nullstellen der Ableitung von $V(h)=-\frac 1 3\pi h^3+\frac{64}3\pi h$ .

$V'(h)=-\pi h^2+\frac{64}3\pi$

Nullstellen der Ableitung:

$\displaystyle V'\left(h\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -\pi h^2+\frac{64}{3}\pi$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\pi h^{2\ }$
$\displaystyle \frac{64}{3}\pi$	$=$	$\displaystyle \pi h^2$	$\displaystyle :\pi$
$\displaystyle \frac{64}{3}$	$=$	$\displaystyle h^2$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt
$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{64}{3}}$	$=$	$\displaystyle h$

In der Aufgabenstellung steht, dass du auf zwei Nachkommastellen runden sollst. Damit erhältst du die Werte

$h_1\approx 4{,}62$ und $h_2\approx -4{,}62$

Da $h_2$ nicht in der Definitionsmenge $D_h=[4;6]$ liegt, musst du diese Stelle nicht weiter beachten.

Aufgrund der Vielfachheit von 1, die die beiden gefundenen Werte haben, weißt du, dass es sich bei beiden um Extremstellen handeln muss (Alternativ: weise die Art der Extremstelle zum Beispiel mit der 2. Ableitung nach).

Funktionswerte an Extremstelle und Rändern

Bestimme die zugehörigen Volumina, indem du den Wert $h_1\approx 4{,}62$ , den linken Rand $h_l=4$ und den rechten Rand $h_r=6$ in die Funktion einsetzt:

$V(4{,}62)=-\frac 1 3 \pi \cdot 4{,}62^3+\frac{64}3\pi \cdot 4{,}62\approx 206{,}37$

$V(4)=-\frac 1 3 \pi \cdot 4^3+\frac{64}3\pi \cdot 4\approx 201{,}06$

$V(6)=-\frac 1 3 \pi \cdot 6^3+\frac{64}3\pi \cdot 6\approx 175{,}93$

An der gefundenen Extremstelle, bei einer Tipi-Höhe von $4{,}62$ m hat das Zelt also das größte Volumen von $206{,}37 m^3$ .

Durchmesser des Tipis

Um den Durchmesser bestimmen zu können, brauchst du zuerst den Radius.

Setze dafür in die Nebenbedingung aus der letzten Teilaufgabe ein:

$r^2=64-h^2$

mit $h=4{,}62$ also:

$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle 64-4{,}62^2$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{64-4{,}62^2}$

Du erhältst damit den Radius $r=6{,}53$ . Die negative Lösung kannst du erneut ignorieren.

Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius:

$d=2\cdot6{,}53=13{,}06$

Antwort

Das Tipi hat bei einer Höhe von $4{,}62m$ und einem Durchmesser von $13{,}06m$ sein maximales Volumen (von $206{,}37m^3$ ).

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