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Ein Tipi Zelt in einem Skigebiet hat die Form eines geraden Kreiskegels, dessen Mantellinie die Länge s=8ms=8m hat (siehe Zeichnung). Das Zelt besitzt ein Innenvolumen, das bei gleichbleibender Länge der Mantellinie von der Höhe h des Zeltes abhängt. Der jeweilige Funktionswert der Funktion V:hV(h)V:h\mapsto V(h) beschreibt dieses Innenraumvolumen.

Bild

Aus optischen Gründen soll dabei die Höhe h des Tipi Zeltes mindestens 4m und maximal 6m betragen. Dabei steht h für die Höhe des Zelts in m und V(h) für das Volumen des Zelts in m3m^3.

Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

  1. Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf.

    (Mögliches Teilergebnis: V(h)=13πh3+643πhV(h)=-\frac 1 3\pi h^3+\frac{64}3 \pi h) (3 BE)

  2. Bestimmen Sie unter den oben genannten Vorgaben, für welche Höhe h das Tipi Zelt den maximalen Rauminhalt aufweist. Berechnen Sie für diesen Fall den Durchmesser des Bodens des Tipi Zeltes. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. (8 BE)