Für das Volumen eines Kegels gilt für Radius r und Höhe h

$V=\frac{1}{3}{r}^2\pi h$ (Hauptbedingung)

Da diese Buchstaben direkt denen aus der Skizze entsprechen, ist hier nichts weiter zu tun.

Für das rechtwinklige Dreieck aus h, r und s=8 gilt der Satz des Pythagoras:

$r^2+h^2=8^2$ (Nebenbedingung)

Forme diese Gleichung nach $r^2$ um, damit du in der Hauptbedingung $r^2$ durch einen Term in Abhängigkeit von $h$ ersetzen kannst.

$r^2=64-h^2$

Setze in die Hauptbedingung ein:

$V=\frac{1}{3}(64-h^2)\pi h$

Um das Zwischenergebnis zu erhalten, musst du noch ausmultiplizieren:

$V(h)=\frac{64}{3}\pi h-\frac{1}{3}\pi h^3$

Definitionsmenge

Aus dem Text weißt du, dass die Höhe mindestens 4m und maximal 6m betragen soll. Es gilt also für die Definitionsmenge:

$D_h=[4;6]$

Kandidaten für Extremstellen

An den Extremstellen hat die Steigung des Graphen von V den Wert 0. Du suchst also die Nullstellen der Ableitung von $V(h)=-\frac{1}{3}\pi h^3+\frac{64}{3}\pi h$.

$V^{\prime }(h)=-\pi h^2+\frac{64}{3}\pi$

Nullstellen der Ableitung:

In der Aufgabenstellung steht, dass du auf zwei Nachkommastellen runden sollst. Damit erhältst du die Werte

$h_1\approx \mathrm{4,62}$ und $h_2\approx -\mathrm{4,62}$

Da $h_2$ nicht in der Definitionsmenge $D_h=[4;6]$ liegt, musst du diese Stelle nicht weiter beachten.

Aufgrund der Vielfachheit von 1, die die beiden gefundenen Werte haben, weißt du, dass es sich bei beiden um Extremstellen handeln muss (Alternativ: weise die Art der Extremstelle zum Beispiel mit der 2. Ableitung nach).

Funktionswerte an Extremstelle und Rändern

Bestimme die zugehörigen Volumina, indem du den Wert $h_1\approx \mathrm{4,62}$, den linken Rand $h_l=4$ und den rechten Rand $h_r=6$ in die Funktion einsetzt:

$V(\mathrm{4,62})=-\frac{1}{3}\pi \cdot {\mathrm{4,62}}^3+\frac{64}{3}\pi \cdot \mathrm{4,62}\approx \mathrm{206,37}$

$V(4)=-\frac{1}{3}\pi \cdot 4^3+\frac{64}{3}\pi \cdot 4\approx \mathrm{201,06}$

$V(6)=-\frac{1}{3}\pi \cdot 6^3+\frac{64}{3}\pi \cdot 6\approx \mathrm{175,93}$

An der gefundenen Extremstelle, bei einer Tipi-Höhe von $\mathrm{4,62}$m hat das Zelt also das größte Volumen von $\mathrm{206,37}{m}^3$.

Durchmesser des Tipis

Um den Durchmesser bestimmen zu können, brauchst du zuerst den Radius.

Setze dafür in die Nebenbedingung aus der letzten Teilaufgabe ein:

$r^2=64-h^2$

mit $h=\mathrm{4,62}$ also:

Du erhältst damit den Radius $r=\mathrm{6,53}$. Die negative Lösung kannst du erneut ignorieren.

Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius:

$d=2\cdot \mathrm{6,53}=\mathrm{13,06}$

Antwort

Das Tipi hat bei einer Höhe von $\mathrm{4,62}m$ und einem Durchmesser von $\mathrm{13,06}m$ sein maximales Volumen (von $\mathrm{206,37}{m}^3$).