Definitionsmenge
Aus dem Text weißt du, dass die Höhe mindestens 4m und maximal 6m betragen soll. Es gilt also für die Definitionsmenge:
Dh=[4;6]
Kandidaten für Extremstellen
An den Extremstellen hat die Steigung des Graphen von V den Wert 0. Du suchst also die Nullstellen der Ableitung von V(h)=−31πh3+364πh.
V′(h)=−πh2+364π
Nullstellen der Ableitung:
In der Aufgabenstellung steht, dass du auf zwei Nachkommastellen runden sollst. Damit erhältst du die Werte
h1≈4,62 und h2≈−4,62
Da h2 nicht in der Definitionsmenge Dh=[4;6] liegt, musst du diese Stelle nicht weiter beachten.
Aufgrund der Vielfachheit von 1, die die beiden gefundenen Werte haben, weißt du, dass es sich bei beiden um Extremstellen handeln muss (Alternativ: weise die Art der Extremstelle zum Beispiel mit der 2. Ableitung nach).
Funktionswerte an Extremstelle und Rändern
Bestimme die zugehörigen Volumina, indem du den Wert h1≈4,62, den linken Rand hl=4 und den rechten Rand hr=6 in die Funktion einsetzt:
V(4,62)=−31π⋅4,623+364π⋅4,62≈206,37
V(4)=−31π⋅43+364π⋅4≈201,06
V(6)=−31π⋅63+364π⋅6≈175,93
An der gefundenen Extremstelle, bei einer Tipi-Höhe von 4,62m hat das Zelt also das größte Volumen von 206,37m3.
Durchmesser des Tipis
Um den Durchmesser bestimmen zu können, brauchst du zuerst den Radius.
Setze dafür in die Nebenbedingung aus der letzten Teilaufgabe ein:
r2=64−h2
mit h=4,62 also:
Du erhältst damit den Radius r=6,53. Die negative Lösung kannst du erneut ignorieren.
Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius:
d=2⋅6,53=13,06