Teil 2, Analysis I

Term von f, f' und f'' mit Variablen angeben

Da die Funktion vom Grad 3 ist und keine Aussage über die Symmetrie bekannt ist, hat f die Form

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

Und für die Ableitungen gilt:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx+cf\text{'}(x)=3ax^2+2bx+c$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6ax+2bf\text{'}\text{'}(x)=6ax+2b$

Bedingungsgleichungen aufstellen

I) geht durch $P(-1\mathrm{\mid }\mathrm{0,5})\Rightarrow f(-1)=\mathrm{0,5}P(-1|0\{,\}5)\; \backslash Rightarrow\; f(-1)=0\{,\}5$

II) Wendepunkt auf y-Achse $\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0\backslash Rightarrow\; f\text{'}\text{'}(0)=0$

III) Steigung der Wendetangente t: $m_t=2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(0)=2m\_t=2\; \backslash Rightarrow\; f\text{'}(0)=2$

IV) Koordinaten des Wendepunkts $\Rightarrow f(0)=t(0)=1\backslash Rightarrow\; f(0)=t(0)=1$

Setze in den Term von oben ein und vereinfache:

I) $\mathrm{0,5}=-a+b-c+d0\{,\}5=-a+b-c+d$

II) $0=6a\cdot 0+2b\iff b=00=6a\backslash cdot\; 0+2b\; \backslash Leftrightarrow\; b=0$

III) $2=3a\cdot 0^2+2b\cdot 0+c\iff c=22=3a\backslash cdot\; 0^2+2b\backslash cdot\; 0+c\; \backslash Leftrightarrow\; c=2$

IV) $1=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d\iff d=11=a\backslash cdot\; 0^3+b\backslash cdot\; 0^2+c\backslash cdot\; 0+d\; \backslash Leftrightarrow\; d=1$

Lösen des Gleichungssystems

Da b, c und d jetzt bereits bekannt sind, kannst du damit a ermitteln:

Insgesamt also $f(x)=-\mathrm{1,5}{x}^3+2x+1f(x)=-1\{,\}5x^3+2x+1$

1. Ableitung

Die erste Ableitung der Funktion $f(x)=-\mathrm{1,5}{x}^3+2x+1f(x)=-1\{,\}5x^3+2x+1$ ist

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{4,5}{x}^2+2f\text{'}(x)=-4\{,\}5x^2+2$

Nullstellen der 1. Ableitung

Löse:

Nachweis und Art über 2. Ableitung

(Alternativ kannst du mit einer Monotonietabelle oder einer aussagekräftigen Skizze der Ableitungsfunktion arbeiten)

Bilde die 2. Ableitung:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-9xf\text{'}\text{'}(x)=-9x$

Setze die gefundenen x-Werte in die 2. Ableitung ein:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-\frac{2}{3})=6>0\Rightarrow TIPf\text{'}\text{'}(-\backslash frac\; 2\; 3)=6>0\backslash Rightarrow\; TIP$

Lage der Extrempunkte

Setze die gefundenen x-Werte in die Ausgangsfunktion f ein:

$f(\frac{2}{3})=\frac{17}{9}f(\backslash frac\; 2\; 3)=\backslash frac\{17\}\{9\}$ und somit $HOP\left(\frac{2}{3}\mathrm{\mid }\frac{17}{9}\right)HOP\backslash left(\backslash frac\{2\}\{3\}|\backslash frac\{17\}\{9\}\backslash right)$

$f(-\frac{2}{3})=\frac{1}{9}f(-\backslash frac\; 2\; 3)=\backslash frac\; 1\; 9$ und somit $TIP(-\frac{2}{3}\mathrm{\mid }\frac{1}{9})TIP(-\backslash frac\; 2\; 3|\backslash frac\; 1\; 9)$

Folgerung zur Nullstelle

Beide Extrempunkte liegen oberhalb der x-Achse. Aufgrund des negativen Leitkoeffizienten und des ungeraden Grades kommt die Funktion vom II. Quadranten ("von oben") und geht in den IV. Quadranten ("nach unten"). Deshalb hat sie nur eine einfache Nullstelle irgendwo rechts von ihrem Hochpunkt.

Flächenstück markieren

Differenzfunktion bilden

Um den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen zu bestimmen, verwendest du eine Differenzfunktion. Das heißt nichts anderes, als dass du vom Funktionsterm, dessen Graph in der Zeichnung weiter oben verläuft, den Funktionsterm des anderen Graphen abziehst.

Hier verläuft im Intervall $[0;1][0;1]$ der Graph $G_{t}G\_t$ oberhalb vom Graph $G_{f}G\_f$, also:

Wert des bestimmten Integrals

Der Flächeninhalt entspricht dem Wert des bestimmten Integrals

${\displaystyle {\int }_0^{1}s(x)dx}\backslash displaystyle\backslash int\_0^1s(x)dx$

Bestimme den zugehörigen Wert

Gleichungssystem aufstellen und lösen

Die Starttemperatur von $80\mathrm{°}C80°C$ ist zum Zeitpunkt $t=0t=0$:

I) $80=a\cdot e^{0\cdot b}+2280=a\backslash cdot\; e^\{0\backslash cdot\; b\}+22$

Da $e^0=1e^0=1$ erhältst du direkt

Setze den gefundenen Wert für a direkt in die nächste Gleichung ein.

Um 9:15, also nach 20 Minunten, hat der Tee noch eine Temperatur von $30\mathrm{°}C30°C$:

II) $30=58\cdot e^{20b}+2230=58\backslash cdot\; e^\{20b\}+22$

Löse diese Gleichung nach b auf:

Bedeutung der Zahl 22

• $y=22y=22$ ist die Gleichung der waagerechten Asymptote der Exponentialfunktion

• $22\mathrm{°}C22°C$ ist die Raumtemperatur, die der Tee niemals unterschreitet.

Da der Tee um 8:55 eingeschenkt wurde, ist die angenehme Trinktemperatur nach sechs Minuten Wartezeit um 9:01 Uhr erreicht.

Für das Volumen eines Kegels gilt für Radius r und Höhe h

$V=\frac{1}{3}{r}^2\pi hV=\backslash frac\; 13\; r^2\backslash pi\; h$ (Hauptbedingung)

Da diese Buchstaben direkt denen aus der Skizze entsprechen, ist hier nichts weiter zu tun.

Für das rechtwinklige Dreieck aus h, r und s=8 gilt der Satz des Pythagoras:

$r^2+h^2=8^{2}r^2+h^2=8^2$ (Nebenbedingung)

Forme diese Gleichung nach $r^{2}r^2$ um, damit du in der Hauptbedingung $r^{2}r^2$ durch einen Term in Abhängigkeit von $hh$ ersetzen kannst.

$r^2=64-h^{2}r^2=64-h^2$

Setze in die Hauptbedingung ein:

$V=\frac{1}{3}(64-h^2)\pi hV=\backslash frac\; 1\; 3\; (64-h^2)\backslash pi\; h$

Um das Zwischenergebnis zu erhalten, musst du noch ausmultiplizieren:

$V(h)=\frac{64}{3}\pi h-\frac{1}{3}\pi h^{3}V(h)=\backslash frac\{64\}3\backslash pi\; h-\backslash frac\; 1\; 3\backslash pi\; h^3$

Definitionsmenge

Aus dem Text weißt du, dass die Höhe mindestens 4m und maximal 6m betragen soll. Es gilt also für die Definitionsmenge:

$D_h=[4;6]D\_h=[4;6]$

Kandidaten für Extremstellen

An den Extremstellen hat die Steigung des Graphen von V den Wert 0. Du suchst also die Nullstellen der Ableitung von $V(h)=-\frac{1}{3}\pi h^3+\frac{64}{3}\pi hV(h)=-\backslash frac\; 1\; 3\backslash pi\; h^3+\backslash frac\{64\}3\backslash pi\; h$.

$V^{\mathrm{\prime }}(h)=-\pi h^2+\frac{64}{3}\pi V\text{'}(h)=-\backslash pi\; h^2+\backslash frac\{64\}3\backslash pi$

Nullstellen der Ableitung:

In der Aufgabenstellung steht, dass du auf zwei Nachkommastellen runden sollst. Damit erhältst du die Werte

$h_1\approx \mathrm{4,62}h\_1\backslash approx\; 4\{,\}62$ und $h_2\approx -\mathrm{4,62}h\_2\backslash approx\; -4\{,\}62$

Da $h_{2}h\_2$ nicht in der Definitionsmenge $D_h=[4;6]D\_h=[4;6]$ liegt, musst du diese Stelle nicht weiter beachten.

Aufgrund der Vielfachheit von 1, die die beiden gefundenen Werte haben, weißt du, dass es sich bei beiden um Extremstellen handeln muss (Alternativ: weise die Art der Extremstelle zum Beispiel mit der 2. Ableitung nach).

Funktionswerte an Extremstelle und Rändern

Bestimme die zugehörigen Volumina, indem du den Wert $h_1\approx \mathrm{4,62}h\_1\backslash approx\; 4\{,\}62$, den linken Rand $h_l=4h\_l=4$ und den rechten Rand $h_r=6h\_r=6$ in die Funktion einsetzt:

$V(\mathrm{4,62})=-\frac{1}{3}\pi \cdot {\mathrm{4,62}}^3+\frac{64}{3}\pi \cdot \mathrm{4,62}\approx \mathrm{206,37}V(4\{,\}62)=-\backslash frac\; 1\; 3\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 4\{,\}62^3+\backslash frac\{64\}3\backslash pi\; \backslash cdot\; 4\{,\}62\backslash approx\; 206\{,\}37$

$V(4)=-\frac{1}{3}\pi \cdot 4^3+\frac{64}{3}\pi \cdot 4\approx \mathrm{201,06}V(4)=-\backslash frac\; 1\; 3\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 4^3+\backslash frac\{64\}3\backslash pi\; \backslash cdot\; 4\backslash approx\; 201\{,\}06$

$V(6)=-\frac{1}{3}\pi \cdot 6^3+\frac{64}{3}\pi \cdot 6\approx \mathrm{175,93}V(6)=-\backslash frac\; 1\; 3\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 6^3+\backslash frac\{64\}3\backslash pi\; \backslash cdot\; 6\backslash approx\; 175\{,\}93$

An der gefundenen Extremstelle, bei einer Tipi-Höhe von $\mathrm{4,62}4\{,\}62$m hat das Zelt also das größte Volumen von $\mathrm{206,37}{m}^{3}206\{,\}37\; m^3$.

Durchmesser des Tipis

Um den Durchmesser bestimmen zu können, brauchst du zuerst den Radius.

Setze dafür in die Nebenbedingung aus der letzten Teilaufgabe ein:

$r^2=64-h^{2}r^2=64-h^2$

mit $h=\mathrm{4,62}h=4\{,\}62$ also:

Du erhältst damit den Radius $r=\mathrm{6,53}r=6\{,\}53$. Die negative Lösung kannst du erneut ignorieren.

Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius:

$d=2\cdot \mathrm{6,53}=\mathrm{13,06}d=2\backslash cdot6\{,\}53=13\{,\}06$

Antwort

Das Tipi hat bei einer Höhe von $\mathrm{4,62}m4\{,\}62m$ und einem Durchmesser von $\mathrm{13,06}m13\{,\}06m$ sein maximales Volumen (von $\mathrm{206,37}{m}^{3}206\{,\}37m^3$).