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Teil 2, Analysis I

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellungen als PDF zum Ausdrucken findest du hier.

  1. 1

    Der Graph GfG_f einer auf Df=RD_f=\mathbb R definierten ganzrationalen Funktion f vom Grad drei verlĂ€uft durch den Punkt P(−1∣0,5)P(-1|0{,}5) und besitzt im Schnittpunkt mit der y-Achse einen Wendepunkt. FĂŒr die Wendetangente GtG_t gilt: t:y=2x+1t:y=2x+1 mit der Definitionsmenge Dt=RD_t=\mathbb R.

    1. Stellen Sie eine Funktionsgleichung von f auf.

      (Mögliches Teilergebnis: f(x)=−1,5x3+2x+1f(x)=-1{,}5x^3+2x+1) (6 BE)

    2. Bestimmen Sie jeweils Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte von GfG_f und begrĂŒnden Sie, warum f nur eine einfache Nullstelle besitzt. (8 BE)

    3. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen GfG_f und die Tangente GtG_t im Bereich −1,5≀x≀1,5-1{,}5\leq x\leq 1{,}5 in ein kartesisches Koordinatensystem.

      Maßstab fĂŒr beide Achsen: 1  LE=1  cm1 \;\mathrm{LE}=1\;\mathrm{cm} (5 BE)

    4. Der Graph GfG_f, die Tangente GtG_t und die Gerade mit der Gleichung x=1x=1 schließen im I. Quadrant des Koordinatensystems ein endliches FlĂ€chenstĂŒck ein. Kennzeichnen Sie dieses FlĂ€chenstĂŒck in Ihrer Zeichnung aus Aufgabe 1.3 und berechnen Sie die Maßzahl seines FlĂ€cheninhalts. (5 BE)

  2. 2

    Der zeitliche Verlauf der Temperatur eines in einer großen Tasse eingeschenkten FrĂŒhstĂŒckstees wird in einem SchĂŒlerexperiment untersucht. Als Grundlage wird nĂ€herungsweise die Modellfunktion T mit der Funktionsgleichung T(t)=a⋅ebt+22T(t)=a\cdot e^{bt}+22 mit t∈R0+t\in\mathbb R^+_0 und a,b∈R\{0}a,b\in \mathbb R\backslash\{0\} verwendet. Dabei steht die Variable t fĂŒr die Beobachtungszeit t in Minuten ab dem Beginn des Experiments, welches mit dem Eingießen des Tees in die Tasse zum Zeitpunkt t0=0t_0=0 startet. Der jeweilige Funktionswert von T gibt die Temperatur des Tees in °C°C zum Zeitpunkt t an. Der Tee in der Tasse hat zu Beginn des Experminents um 8:55 Uhr eine Temperatur von 80°C80°C. Um 9:15 Uhr betrĂ€gt die Temperatur nur noch 30°C30°C.

    Bei den Berechnungen kann auf das MitfĂŒhren von Einheiten verzichtet werden.

    1. Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b. Runden Sie gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle. ErlĂ€utern Sie, welche Bedeutung der Wert 22 im Funktionsterm der Funktion T fĂŒr die Funktionswerte der Modellfunktion hat und bringen Sie diesen Wert in Zusammenhang mit dem durchgefĂŒhrten Experiment. (5 BE)

    2. FĂŒr die folgende Teilaufgabe gilt a=58a=58; b=−0,1b=-0{,}1

      Als angenehm wird eine Trinktemperatur von 54°C54°C empfunden. Berechnen Sie, um welche Uhrzeit diese Temperatur erreicht wird. Runden Sie die Zeitangabe auf ganze Minuten. (3 BE)

  3. 3

    Ein Tipi Zelt in einem Skigebiet hat die Form eines geraden Kreiskegels, dessen Mantellinie die LĂ€nge s=8ms=8m hat (siehe Zeichnung). Das Zelt besitzt ein Innenvolumen, das bei gleichbleibender LĂ€nge der Mantellinie von der Höhe h des Zeltes abhĂ€ngt. Der jeweilige Funktionswert der Funktion V:h↩V(h)V:h\mapsto V(h) beschreibt dieses Innenraumvolumen.

    Bild

    Aus optischen GrĂŒnden soll dabei die Höhe h des Tipi Zeltes mindestens 4m und maximal 6m betragen. Dabei steht h fĂŒr die Höhe des Zelts in m und V(h) fĂŒr das Volumen des Zelts in m3m^3.

    Bei den Berechnungen kann auf das MitfĂŒhren von Einheiten verzichtet werden.

    1. Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf.

      (Mögliches Teilergebnis: V(h)=−13πh3+643πhV(h)=-\frac 1 3\pi h^3+\frac{64}3 \pi h) (3 BE)

    2. Bestimmen Sie unter den oben genannten Vorgaben, fĂŒr welche Höhe h das Tipi Zelt den maximalen Rauminhalt aufweist. Berechnen Sie fĂŒr diesen Fall den Durchmesser des Bodens des Tipi Zeltes. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. (8 BE)


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