Teil 2, Analysis I - lernen mit Serlo!

Der Graph $G_{f}$ einer auf $D_{f} = ℝ$ definierten ganzrationalen Funktion f vom Grad drei verläuft durch den Punkt $P (- 1 | 0,5)$ und besitzt im Schnittpunkt mit der y-Achse einen Wendepunkt. Für die Wendetangente $G_{t}$ gilt: $t : y = 2 x + 1$ mit der Definitionsmenge $D_{t} = ℝ$ .

Stellen Sie eine Funktionsgleichung von $f$ auf.
(Mögliches Teilergebnis: $f (x) = - 1,5 x^{3} + 2 x + 1$ ) (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingungsgleichungen aufstellen
Term von f, f' und f'' mit Variablen angeben
Da die Funktion vom Grad 3 ist und keine Aussage über die Symmetrie bekannt ist, hat $f$ die Form $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$
Und für die Ableitungen gilt:
$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$
$f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$
Bedingungsgleichungen aufstellen
I) geht durch $P (- 1 | 0,5) \Rightarrow f (- 1) = 0,5$
II) Wendepunkt auf y-Achse $\Rightarrow f^{''} (0) = 0$
III) Steigung der Wendetangente t: $m_{t} = 2 \Rightarrow f^{'} (0) = 2$
IV) Koordinaten des Wendepunkts $\Rightarrow f (0) = t (0) = 1$
Setze in den Term von oben ein und vereinfache:
I) $0,5 = - a + b - c + d$
II) $0 = 6 a \cdot 0 + 2 b \Leftrightarrow b = 0$
III) $2 = 3 a \cdot 0^{2} + 2 b \cdot 0 + c \Leftrightarrow c = 2$
IV) $1 = a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d \Leftrightarrow d = 1$
Lösen des Gleichungssystems
Da b, c und d jetzt bereits bekannt sind, kannst du damit a ermitteln:
b,c und d in I)
↓
$0,5$ $=$ $- a + 0 - 2 + 1$ $+ 1$
$1,5$ $=$ $- a$ $\cdot (- 1)$
$a$ $=$ $- 1,5$
Insgesamt also $f (x) = - 1,5 x^{3} + 2 x + 1$
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Stelle zunächst die allgemeinen Funktionsterme für eine Funktion 3. Grades und ihre Ableitungen auf.
Suche dir danach alle gegebenen Informationen zusammen und stelle die zugehörigen Bedingungsgleichungen auf. Da die Funktion vom Grad 3 ist und keine Symmetrie zum Koordinatensystem vorliegt, brauchst du vier Bedingungsgleichungen.
Vereinfache und löse anschließend das Gleichungssystem.
Bestimmen Sie jeweils Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte von $G_{f}$ und begründen Sie, warum $f$ nur eine einfache Nullstelle besitzt. (8 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
1. Ableitung
Die erste Ableitung der Funktion $f (x) = - 1,5 x^{3} + 2 x + 1$ ist
$f^{'} (x) = - 4,5 x^{2} + 2$
Nullstellen der 1. Ableitung
Löse:
$f^{'} (x)$ $=$ $0$
$- 4,5 x^{2} + 2$ $=$ $0$ $- 2$
$- 4,5 x^{2}$ $=$ $- 2$ $: (- 4,5)$
$x^{2}$ $=$ $\frac{4}{9}$
↓
Ziehe die Wurzel. Du erhältst zwei Lösungen
$x_{1}$ $=$ $\frac{2}{3}$
$x_{2}$ $=$ $- \frac{2}{3}$
Nachweis und Art über 2. Ableitung
(Alternativ kannst du mit einer Monotonietabelle oder einer aussagekräftigen Skizze der Ableitungsfunktion arbeiten.)
Bilde die 2. Ableitung:
$f^{''} (x) = - 9 x$
Setze die gefundenen x-Werte in die 2. Ableitung ein:
$f^{''} (\frac{2}{3}) = - 6 < 0 \Rightarrow H O P$
$f^{''} (- \frac{2}{3}) = 6 > 0 \Rightarrow T I P$
Lage der Extrempunkte
Setze die gefundenen x-Werte in die Ausgangsfunktion $f$ ein:
$f (\frac{2}{3}) = \frac{17}{9}$ und somit $H O P (\frac{2}{3} | \frac{17}{9})$
$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{9}$ und somit $T I P (- \frac{2}{3} | \frac{1}{9})$
Folgerung zur Nullstelle
Beide Extrempunkte liegen oberhalb der x-Achse. Aufgrund des negativen Leitkoeffizienten und des ungeraden Grades kommt die Funktion vom II. Quadranten ("von oben") und geht in den IV. Quadranten ("nach unten"). Deshalb hat sie nur eine einfache Nullstelle irgendwo rechts von ihrem Hochpunkt.
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Zur Bestimmung der Art und Koordinaten von Extremstellen führst du die folgenden Schritte aus:
Ableitung bilden
Nullstellen der Ableitung bestimmen. Dies sind die Kandidaten für Extremstellen.
Nachweis der Extremstellen über
2. Ableitung oder
Monotonietabelle oder
Skizze
Lage über das Einsetzen in die Ausgangsfunktion f
Anschließend kannst du mithilfe der gefundenen Extremstellen die weiterführende Frage beantworten, eventuell hilft eine Skizze dabei.
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen $G_{f}$ und die Tangente $G_{t}$ im Bereich $- 1,5 \leq x \leq 1,5$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab für beide Achsen: $1 LE = 1 cm$ (5 BE)
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Fertige zunächst eine Wertetabelle an, damit du weißt, wie viel Platz du für die y-Achse brauchst.
Zeichne das Koordinatensystem und markiere
den Hochpunkt und den Tiefpunkt so genau wie möglich
die anderen Punkte aus der Wertetabelle
Zeichne anschließend noch die Tangente. Beginne z.B. mit dem y-Achsenabschnitt und zeichne mithilfe eines Steigungsdreiecks.
Vergiss nicht, die Graphen zu beschriften!
Der Graph $G_{f}$ , die Tangente $G_{t}$ und die Gerade mit der Gleichung $x = 1$ schließen im I. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in Ihrer Zeichnung aus Aufgabe c) und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Flächenstück markieren
Differenzfunktion bilden
Um den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen zu bestimmen, verwendest du eine Differenzfunktion. Das heißt nichts anderes, als dass du vom Funktionsterm, dessen Graph in der Zeichnung weiter oben verläuft, den Funktionsterm des anderen Graphen abziehst.
Hier verläuft im Intervall $[0; 1]$ der Graph $G_{t}$ oberhalb vom Graph $G_{f}$ , also:
$s (x)$ $=$ $t (x) - f (x)$
$=$ $2 x + 1 - (- 1,5 x^{3} + 2 x + 1)$
↓
Minus vor der Klammer beachten!
$=$ $2 x + 1 + 1,5 x^{3} - 2 x - 1$
$=$ $1,5 x^{3}$
Wert des bestimmten Integrals
Der Flächeninhalt entspricht dem Wert des bestimmten Integrals
$\int_{0}^{1} s (x) d x$
Bestimme den zugehörigen Wert:
$A$ $=$ $\int_{0}^{1} s (x) d x$
$=$ $\int_{0}^{1} (1,5 x^{3}) d x$
↓
Bilde eine Stammfunktion von $1,5 x^{3} = \frac{3}{2} x^{3}$
$=$ ${[\frac{3}{8} x^{4}]}_{0}^{1}$
$=$ $(\frac{3}{8} \cdot 1^{4}) - (\frac{3}{8} \cdot 0^{4}) = \frac{3}{8}$
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Markiere zunächst das gesuchte Flächenstück. Du kannst zuvor die senkrechte Linie bei $x = 1$ als Hilfestellung ergänzen.
Du suchst den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen im Intervall $[0; 1]$ .
Um den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen zu bestimmen, musst du zuvor die Differenzfunktion bilden. Dazu ziehst du den Funktionsterm des Graphen, der im Intervall weiter unten liegt, vom anderen Funktionsterm ("oberen Graphen") ab.
Danach berechnest du wie gewohnt den Wert des bestimmten Integrals mit dieser Differenzfunktion, indem du eine Stammfunktion bestimmst, die Intervallgrenzen einsetzt und die Werte voneinander abziehst.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

b,c und d in I)
	↓
$0,5$	$=$	$- a + 0 - 2 + 1$	$+ 1$
$1,5$	$=$	$- a$	$\cdot (- 1)$
$a$	$=$	$- 1,5$

$f^{'} (x)$	$=$	$0$
$- 4,5 x^{2} + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$- 4,5 x^{2}$	$=$	$- 2$	$: (- 4,5)$
$x^{2}$	$=$	$\frac{4}{9}$
	↓	Ziehe die Wurzel. Du erhältst zwei Lösungen
$x_{1}$	$=$	$\frac{2}{3}$
$x_{2}$	$=$	$- \frac{2}{3}$

$s (x)$	$=$	$t (x) - f (x)$
	$=$	$2 x + 1 - (- 1,5 x^{3} + 2 x + 1)$
	↓	Minus vor der Klammer beachten!
	$=$	$2 x + 1 + 1,5 x^{3} - 2 x - 1$
	$=$	$1,5 x^{3}$

$A$	$=$	$\int_{0}^{1} s (x) d x$
	$=$	$\int_{0}^{1} (1,5 x^{3}) d x$
	↓	Bilde eine Stammfunktion von $1,5 x^{3} = \frac{3}{2} x^{3}$
	$=$	${[\frac{3}{8} x^{4}]}_{0}^{1}$
	$=$	$(\frac{3}{8} \cdot 1^{4}) - (\frac{3}{8} \cdot 0^{4}) = \frac{3}{8}$

Term von f, f' und f'' mit Variablen angeben

Bedingungsgleichungen aufstellen

Lösen des Gleichungssystems

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1. Ableitung

Nullstellen der 1. Ableitung

Nachweis und Art über 2. Ableitung

Lage der Extrempunkte

Folgerung zur Nullstelle

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Flächenstück markieren

Differenzfunktion bilden

Wert des bestimmten Integrals

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