Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die Punkte $A (3 | 5 | 5)$ und $B (1 | 1 | 1)$ sowie die Geraden $g$ und $h$ , die sich in $B$ schneiden. Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ , die Gerade $h$ den Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) .$
1. Weisen Sie nach, dass $A$ auf $g$ liegt. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Gerade
  A liegt auf g?
  Erstelle die Gleichung der Geraden $g$ :
  Wähle als Aufpunkt den Punkt $B (1 | 1 | 1)$ und den Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ .
  $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
  Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{A}$ ein.
  $(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
  Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.
  $\begin{array}{l} (I) 2 = r \\ (I I) 4 = 2 r \Rightarrow r = 2 \\ (I I I) 4 = 2 r \Rightarrow r = 2 \end{array}$
  Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r = 2$ und der Punkt $A$ liegt auf $g$ .
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2. Bestimmen Sie die Koordinaten zweier Punkte $C$ und $D$ so, dass $C$ auf $h$ liegt und das Viereck $A B C D$ eine Raute ist. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
  Bei einer Raute sind die Seiten gleichlang und die gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander.
  Erstelle die Gleichung der Geraden $h$ :
  Wähle als Aufpunkt den Punkt $B (1 | 1 | 1)$ und den Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ .
  $h : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
  Berechne die Länge der Seite $| B A |$ :
  $\vec{B A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array})$
  $| \vec{B A} | = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{36} = 6 LE$
  Da es sich um eine Raute handelt, muss auch die Seite $| B C | 6 LE$ lang sein.
  Der Punkt $C$ liegt auf der Geraden $h \Rightarrow \vec{C} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
  Der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist ein Einheitsvektor, d.h. er muss genau sechsmal (wegen der Länge $6 LE$ ) zum Vektor $\vec{B}$ addiert werden, um zum Vektor $\vec{C}$ zu gelangen.
  $\Rightarrow \vec{C} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + 6 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
  Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $C (7 | 1 | 1)$ .
  Einen weiteren Punkt $C^{'}$ findet man, wenn der Einheitsvektor sechsmal vom Vektor $\vec{B}$ subtrahiert wird.
  $\Rightarrow {\vec{C}}^{'} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - 6 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
  Der Punkt $C^{'}$ hat die Koordinaten $C (- 5 | 1 | 1)$ .
  Entsprechend erhält man auch die Koordinaten des Punktes $D$ .
  Hier gilt:
  $\vec{D} = \vec{A} + 6 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 5 \end{array}) + 6 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 5 \\ 5 \end{array})$
  Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $D (9 | 5 | 5)$ .
  Einen weiteren Punkt $D^{'}$ findet man, wenn der Einheitsvektor sechsmal vom Vektor $\vec{A}$ subtrahiert wird.
  $\Rightarrow {\vec{D}}^{'} = (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 5 \end{array}) - 6 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 5 \\ 5 \end{array})$
  Der Punkt $D^{'}$ hat die Koordinaten $D^{'} (- 3 | 5 | 5)$ .
  Die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ bilden eine Raute.
  Die Punkte $A$ , $B$ , $C^{'}$ und $D^{'}$ bilden ebenfalls eine Raute.
  Die folgende Abbildung wurde nicht in der Aufgabenstellung verlangt.
  Sie dient nur der Veranschaulichung.
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Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

A liegt auf g?

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