Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben sind die Punkte $A (3 ∣ 5 ∣ 5)$ und $B (1 ∣ 1 ∣ 1)$ sowie die Geraden $g$ und $h$ , die sich in $B$ schneiden. Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ , die Gerade $h$ den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$

Weisen Sie nach, dass $A$ auf $g$ liegt. (1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Gerade
A liegt auf g?
Erstelle die Gleichung der Geraden $g$ :
Wähle als Aufpunkt den Punkt $B (1 ∣ 1 ∣ 1)$ und den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ .
$g:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\vec A$ ein.
$\begin{pmatrix}3\\5\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.
$\mathrm{(I)}\;\;\; 2=r\\\mathrm{(II)}\;\; 4=2r\;\Rightarrow\;r=2\\\mathrm{(III)}\; 4=2r\;\Rightarrow\;r=2$
Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r = 2$ und der Punkt $A$ liegt auf $g$ .
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Bestimmen Sie die Koordinaten zweier Punkte $C$ und $D$ so, dass $C$ auf $h$ liegt und das Viereck $A B C D$ eine Raute ist. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
Bei einer Raute sind die Seiten gleichlang und die gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander.
Erstelle die Gleichung der Geraden $h$ :
Wähle als Aufpunkt den Punkt $B (1 ∣ 1 ∣ 1)$ und den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
$h:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Berechne die Länge der Seite $|\overline{BA}|$ :
$\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}3\\5\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}$
$\Big|\overrightarrow{BA}\Big|=\sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{36}=6\;\text{LE}$
Da es sich um eine Raute handelt, muss auch die Seite $|\overline{BC}|\; 6 \;\text{LE}$ lang sein.
Der Punkt $C$ liegt auf der Geraden $h\;\Rightarrow\;\vec C=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist ein Einheitsvektor, d.h. er muss genau sechsmal (wegen der Länge $6 \;\text{LE}$ ) zum Vektor $\vec B$ addiert werden, um zum Vektor $\vec C$ zu gelangen.
$\Rightarrow\;\vec C=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} +6\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\1\\1\end{pmatrix}$
Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $C (7 ∣ 1 ∣ 1)$ .
Einen weiteren Punkt $C^{'}$ findet man, wenn der Einheitsvektor sechsmal vom Vektor $\vec B$ subtrahiert wird.
$\Rightarrow\;\vec C'=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} -6\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\1\\1\end{pmatrix}$
Der Punkt $C^{'}$ hat die Koordinaten $C (- 5 ∣ 1 ∣ 1)$ .
Entsprechend erhält man auch die Koordinaten des Punktes $D$ .
Hier gilt:
$\vec D=\vec A+6\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\\5\end{pmatrix}+6\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\5\\5\end{pmatrix}$
Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $D (9 ∣ 5 ∣ 5)$ .
Einen weiteren Punkt $D^{'}$ findet man, wenn der Einheitsvektor sechsmal vom Vektor $\vec A$ subtrahiert wird.
$\Rightarrow\;\vec D'=\begin{pmatrix}3\\5\\5\end{pmatrix} -6\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\5\\5\end{pmatrix}$
Der Punkt $D^{'}$ hat die Koordinaten $D^{'} (- 3 ∣ 5 ∣ 5)$ .
Die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ bilden eine Raute.
Die Punkte $A$ , $B$ , $C^{'}$ und $D^{'}$ bilden ebenfalls eine Raute.
Die folgende Abbildung wurde nicht in der Aufgabenstellung verlangt.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
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A liegt auf g?

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