A liegt auf g?

Erstelle die Gleichung der Geraden $g$:

Wähle als Aufpunkt den Punkt $B(1|1|1)$ und den Richtungsvektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$.

$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\overrightarrow{X}$ den Vektor $\overrightarrow{A}$ ein.

$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

$\begin{array}{l}(\mathrm{I})2=r\\ (\mathrm{I}\mathrm{I})4=2r\Rightarrow r=2\\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})4=2r\Rightarrow r=2\end{array}$

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r=2$ und der Punkt $A$ liegt auf $g$.

Bei einer Raute sind die Seiten gleichlang und die gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander.

Erstelle die Gleichung der Geraden $h$:

Wähle als Aufpunkt den Punkt $B(1|1|1)$ und den Richtungsvektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

$h:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Berechne die Länge der Seite $|\overline{BA}|$:

$\overrightarrow{BA}=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

$|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{36}=6\text{LE}$

Da es sich um eine Raute handelt, muss auch die Seite $|\overline{BC}|6\text{LE}$ lang sein.

Der Punkt $C$ liegt auf der Geraden $h\Rightarrow \overrightarrow{C}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist ein Einheitsvektor, d.h. er muss genau sechsmal (wegen der Länge $6\text{LE}$) zum Vektor $\overrightarrow{B}$ addiert werden, um zum Vektor $\overrightarrow{C}$ zu gelangen.

$\Rightarrow \overrightarrow{C}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $C(7|1|1)$.

Einen weiteren Punkt $C^{\prime }$ findet man, wenn der Einheitsvektor sechsmal vom Vektor $\overrightarrow{B}$ subtrahiert wird.

$\Rightarrow {\overrightarrow{C}}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)-6\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Der Punkt $C^{\prime }$ hat die Koordinaten $C(-5|1|1)$.

Entsprechend erhält man auch die Koordinaten des Punktes $D$.

Hier gilt:

$\overrightarrow{D}=\overrightarrow{A}+6\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 5\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 5\\ 5\end{array}\right)$

Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $D(9|5|5)$.

Einen weiteren Punkt $D^{\prime }$ findet man, wenn der Einheitsvektor sechsmal vom Vektor $\overrightarrow{A}$ subtrahiert wird.

$\Rightarrow {\overrightarrow{D}}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 5\end{array}\right)-6\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 5\end{array}\right)$

Der Punkt $D^{\prime }$ hat die Koordinaten $D^{\prime }(-3|5|5)$.

Die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ bilden eine Raute.

Die Punkte $A$, $B$, $C^{\prime }$ und $D^{\prime }$ bilden ebenfalls eine Raute.

Die folgende Abbildung wurde nicht in der Aufgabenstellung verlangt.

Sie dient nur der Veranschaulichung.